Question

Na cultura brasileira, qualquer espirro é sinônimo de gripe. A pessoa abre a geladeira, espirra porque entrou em contato com o ar frio e imediatamente se considera gripada. Essa banalização do que é a gripe tem inconveniente sério, pois não se trata de uma doença com a benignidade que a maioria imagina. Em crianças, pessoas idosas ou imunodeprimidas, pode ser uma moléstia grave e até causar a morte. A gripe e o resfriado são doenças virais e vão muito além de um simples espirro. Embora os sintomas sejam semelhantes, os da gripe são bem mais intensos. A gripe derruba a pessoa, deixa-a de cama, sem a menor condição de sair de casa e trabalhar.
Fragmento de texto adaptado de Gripes e resfriados. Disponível em: Acesso em: 26 out. 2012

Suponha que a função f(t) = - 8t2 + 240t seja o modelo matemático que descreve uma epidemia de gripe ocorrida em uma certa cidade, em que f representa a quantidade de pessoas contaminadas em um determinado período (t) de dias.
Dessa forma, ao final de quantos dias o número de pessoas com gripe voltaria a ficar nulo e qual o número máximo de pessoas contaminadas com gripe na cidade, respectivamente?

Answer 1

O enunciado nos diz que a função $f(t) = -8t^2+240t$ descreve o número de pessoas contaminadas no instante t.

A primeira pergunta questiona quantos dias são necessários para que o número de contaminados seja nulo. Ou seja, queremos saber qual é o t que leva f em 0:

$f(t)=-8t^2+240t=0 \\\\ (-8t)(t-30)=0 \\\\ t=0; t=30$

(a conta pode ser feita usando a fórmula de Bháskara também)

Portanto, a quantidade de contaminados volta a ser nula ao final de 30 dias.

A segunda pergunta pede o número máximo de contaminados, ou seja, ele quer o ponto máximo da função f(t). Essa função é de segundo grau, e portanto, sabemos que seu gráfico é uma parábola. Como o termo que multiplica $t^2$ é negativo, sabemos também que a concavidade dessa parábola é voltada pra baixo. Como a parábola é simétrica, o ponto máximo será exatamente no meio entre os pontos que a função "toca" no eixo horizontal, os quais já descobrimos na questão anterior (t=0 e t=30). Portanto, o máximo de f(t) será quando $t=\frac{0+30}{2}=15$ dias.

$f(15) = -8*15^2+240*15 = 1800$

Portanto, o número máximo de infectados é 1800 pessoas.

Answer 2

Resposta:

O enunciado nos diz que a função  descreve o número de pessoas contaminadas no instante t.

A primeira pergunta questiona quantos dias são necessários para que o número de contaminados seja nulo. Ou seja, queremos saber qual é o t que leva f em 0:

(a conta pode ser feita usando a fórmula de Bháskara também)

Portanto, a quantidade de contaminados volta a ser nula ao final de 30 dias.

A segunda pergunta pede o número máximo de contaminados, ou seja, ele quer o ponto máximo da função f(t). Essa função é de segundo grau, e portanto, sabemos que seu gráfico é uma parábola. Como o termo que multiplica  é negativo, sabemos também que a concavidade dessa parábola é voltada pra baixo. Como a parábola é simétrica, o ponto máximo será exatamente no meio entre os pontos que a função "toca" no eixo horizontal, os quais já descobrimos na questão anterior (t=0 e t=30). Portanto, o máximo de f(t) será quando  dias.

Portanto, o número máximo de infectados é 1800 pessoas.