Question

Na copa do mundo as 32 equipes são divididas em 8 chaves, em cada chave é escolhido um pais como cabeça de chave.Uma das razões para essa escolha é para evitar que os times mais fortes se concentrem em uma unica chave e em outras tenham apenas times mais fracos. Supondo que em uma copa do mundo os cabeças já estão definidos, as chaves A e B também estão definidas e o Brasil está na chave C, qual o nº de possibilidades diferentes que teremos para formar a chave do Brasil?

Answer 1

São 32 equipes para 8 chaves, logo são 4 equipes por chave. Os cabeças já foram definidos, então restaram 32-8=24 equipes para terem suas chaves definidas. Os grupos A e B estão completos, então restam 24-3-3=18 equipes a serem alocadas (os -3 apareceram porque as chaves A e B foram completas, cada uma com mais três equipes). Então, para a chave do Brasil, você pode escolher três equipes, não importa a ordem, para completar a chave. Como não importa a ordem temos que usar combinação. Indo pras contas:

$C_{18,3} = \frac{18!}{15!.3!} = \frac{18.17.16.15!}{15!.3.2} => C_{18,3} = 816$

Então existem 816 formas diferentes de se completar a chave do Brasil