Question

Na construção de um ladrilhamento com polígonos regulares, qual o número mínimo e qual o número máximo de polígonos distribuídos em torno de cada vértice? Justifique sua resposta.
Mostre que ∑_i^4▒〖=1〗 ( 180 - 360/ni) = 360 resultado em 1/n1+ 1/(n2 ) + 1/n3+ 1/n4 = 1, e encontre todas as possibilidades para 1, 2, 3 4 (isso nos dá todas as distribuições possíveis de quatro polígonos regulares organizados em torno de um vértice, em u​

Answer 1

O número mínimo é 3 e o máximo é 6.

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Mosaicos regulares são tais que obedecem a três condições:

a) os ladrilhos são polígonos regulares;

b) a intersecção de dois polígonos é sempre um lado ou um vértice ou vazia;

c) o tipo de cada vértice é sempre o mesmo, isto é, a distribuição ao redor de cada  vértice é sempre a mesma.

Mostraremos que existem, no plano euclidiano, apenas 3 tipos de mosaicos  regulares:

Um polígono regular de n lados tem ângulos internos iguais a  180 (1 − 2/n). Então, para  que haja o ladrilhamento regular com m polígonos regulares de n lados em cada vértice,  devemos ter:

m. 180(1 − 2/n) = 360 ⇔ 1/n + 1/m = 1/2 ⇔ m = 2n/ (n-2) ⇔ m - 2 = 4/ (n-2)

Como  m - 2 é inteiro, então, n-2 é divisor de 4 e as únicas possibilidades são:

nº de polígonos por vértices (m): 6, 4 e 3

nº de lados do polígono (n): 3, 4 e 6

Logo, o número mínimo é 3 e o máximo é 6.

Para a segunda parte do exercício, seja n$_{i}$ o número de lados de cada um desses 4 polígonos regulares com n₁ ≤ n₂ ≤ n₃ ≤  n₄. Assim, temos:

Σ (180 - 360/n$_{i}$) = 360      

(180 - 360/n₁) + (180 - 360/n₂) + (180 - 360/n₃) +(180 - 360/n₄) = 360

720 - 360 (1/n₁ + 1/n₂ + 1/n₃ + 1/n₄) = 360

- 360 (1/n₁ + 1/n₂ + 1/n₃ + 1/n₄) = -360

1/n₁ + 1/n₂ + 1/n₃ + 1/n₄ = 1

Dessa expressão, decorre que 1 ≤ 4/n₁  ⇒ 3 ≤ n₁ ≤ 4. Logo, o número mínimo de polígonos distribuídos em torno de cada vértice é 3.

Por outro lado, se n₁ = 3, 1/n₂ + 1/n₃ + 1/n₄ = 2/3 ⇒  2/3 ≤ 3/n₂ ⇒ 3 ≤ n₂ ≤ 4.

Se n₁ = n₂ = 3, por argumento análogos, tem-se que 4 ≤ n₃ ≤ 6 ou n₃ = 4 , n₄ = 12 ou n₃ = n₄ = 6.

Se n₁ =  3 e n₂ = 4, então n₃ = 4 e n₄ = 6.

Se n₁ = n₂ = 4, então n₃ = n₄ = 4.

Resumindo, a análise nos mostra os seguintes possíveis casos:

m = 4  |   n₁   |   n₂  |   n₃   |  n₄

          |   3     |   3   |   4    |  12

          |   3     |   3   |   6    |  6

          |   3     |   6   |   3    |  6

          |   3     |   4   |   3    |  12

          |   3     |   4   |   6    |  4

          |   3     |   4   |   4    |  6

          |   4     |   4   |   4    |  4

Contudo, pela condição c), somente são possíveis os casos  3.6.3.6, 3.4.6.4 e 4.4.4.4.

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Até mais!