Question

Na circunferência de centro $\mathbf{A}$, $\mathbf{\overline{AB} = 2 \, dm}$, $\mathbf{\overline{AC} = \sqrt{3} \, dm}$ e $\mathbf{\overline{AD} = 1 \, dm}$. A área da figura sombreada é:


$\mathsf{a) \, \frac{2\pi}{5} \, dm^2}$

$\mathtt{b) \, \pi \, dm^2}$

$\mathtt{c) \, \frac{3\pi}{4} \, dm^2}$

$\mathtt{d) \, \frac{4\pi}{5} \, dm^2}$

$\mathtt{e) \, \frac{2\pi}{3} \, dm^2}$

Answer 1

Resposta:

$e)\ \frac{2\pi}{3}\ dm^2$

Explicação passo-a-passo:

A área sombreada total é igual a duas vezes a área de cima, vamos calcular esta usando integrais e a função da circunferência.

A equação que representa a circunferência é:

$x^2+y^2 = r^2\\\\x^2+y^2 = 4\ \ (r\ =\ 2\ dm)\\\\y=\sqrt{4-x^2}\ \ (y>0)\ \ Parte\ de\ cima\ da\ curva.$

Então a área pode ser calculada usando integração:

$A_{total} = 2*A_{cima} = 2*\int\limits^C_Df(x)\, dx = 2*\int\limits^{\sqrt{3}}_1\sqrt{4-x^2}dx\\\\x = 2*sin(u) \implies dx =2*cos(u)du\\\\A_{total} = 2*\int\limits^{arcsin(\frac{\sqrt{3})}{2}}_{arcsin(\frac{1}{2})}\sqrt{4-4sin^2(u)}*2*cos(u)du = 8*\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}cos^2(u)du\\\\A_{total}=4*\int\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}(1+cos(2x))dx=4*((x)|\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}}-2*(sin(2x))|\limits^{\frac{\pi}{3}}_{\frac{\pi}{6}})$

$A_{total}=4*((\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})-2*(sin(\frac{2*\pi}{3})-sin(\frac{\pi}{3})))\\\\A_{total} = 4*(\frac{\pi}{6}-2*(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}))\\\\\boxed{A_{total}=\frac{2\pi}{3}\ dm^2}$

A resposta correta é a alternativa E.