Question

Na Cinemática, que é o estudo da posição de corpos em movimento em função do espaço e do tempo, há uma relação matemática entre as funções de espaço, velocidade e aceleração: dada a função s(t) da posição de um objeto em função do tempo, sua derivada é a função de velocidade v(t), que por sua vez, tem a derivada resultando na função aceleração a(t).



Considere que um projétil é atirado em um meio viscoso, tendo a velocidade inicial de entrada no líquido de 100m/s e função velocidade dada por:



v left parenthesis t right parenthesis equals 100 e to the power of negative 1 half t end exponent

Pelas informações, é possível definir as funções de espaço e aceleração em relação ao tempo como, respectivamente

Escolha uma:

Answer 1

Para o projétil em causa, a função velocidade é.

$v(t) = 100 \textrm{e}^{-t/2},$

sendo $v(0) = v_0 = 100 \textrm{ m/s}$ a velocidade inicial de entrada.

A aceleração do projétil é dada pela derivada da velocidade, pelo que:

$a(t) = v'(t) = 100 \left(\textrm{e}^{-t/2}\right)' = -\dfrac{1}{2} \times100\textrm{e}^{-t/2} = -50\textrm{e}^{-t/2}.$

A função espaço é o integral da velocidade:

$s(t) = \displaystyle\int v(t)\textrm{ d}t = 100 \int \textrm{e}^{-t/2}\textrm{ d}t.$

Fazemos a substituição $u = -\frac{t}{2} \implies \textrm{d}u = -\frac{\textrm{d}t}{2}$, donde:

$s(t) = \displaystyle 100\int \textrm{e}^u \; (-2\textrm{ d}u) = -2 \times 100 \int \textrm{e}^u \textrm{ d}u = -200\textrm{e}^u = -200\textrm{e}^{-t/2} + C,$

com $C \in \mathbb{R}$ a constante de integração determinada pela posição inicial.

Resposta: $\boxed{\textrm{e.} \quad s(t) = -200\textrm{e}^{-t/2} + C \quad; \quad a(t)=-50\textrm{e}^{-t/2}}.$

Answer 2

Resposta:

Explicação: