Question

Na Álgebra Linear, as funções cujos domínios e contradomínios são espaços vetoriais e que preservam as operações de adição de vetores e de multiplicação de um vetor por um escalar são conhecidas como transformações lineares.


Considere a transformação abaixo:


T(x,y,z)=(x-y+z,y-z,z)


Qual a imagem dessa transformação?

Alternativa 1
(1,0,0),(-1,1,0) e (1,-1,1)

Alternativa 2:
(1,0,1),(1,1,0) e (1,1,1)

Alternativa 3:
(1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1)

Alternativa 4:
(1,0,0),(-1,1,0) e (1,1,1)

Alternativa 5:
(-1,0,0),(1,1,0) e (1,-1,1)

Answer 1

Resposta:

alternativa 1

Explicação passo a passo:

(x,y,z) (y-z) (z)

(x,0,0) (-y,y,0) (z,-z,z)

(1,0,0) (-1,1,0) (1,-1,1)

Answer 2

Analisando a transformação linear dada na questão, obtemos que a imagem é ao subespaço vetorial gerado pelos vetores (1, 0, 0), (-1, 1, 0), (1, -1, 1), alternativa 1.

Transformação linear

Todo vetor que é imagem da transformação linear T dada na questão pode ser escrito na forma:

(x - y + z, y - z, z)

Onde x, y e z são valores reais. Portanto, utilizando a soma de vetores podemos escrever:

(x, 0, 0) + (-y, y, 0) + (z, -z, z)

Pela multiplicação de um escalar por um vetor, temos que:

x*(1, 0, 0) + y*(-1, 1, 0) + z*(1, -1, 1)

Os três vetores encontrados são linearmente independentes e a imagem da transformação linear é o subespaço vetorial gerado por esses três vetores.

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