n3+nx
fatorar na evidência
Soluções para a tarefa
As séries
∞
∑
n
=
0
n
3
n
x
n
é convergente para
x
∈
(
-
1
3
,
1
3
)
Explicação:
Dada a série:
∞
∑
n
=
0
n
3
n
x
n
Podemos aplicar o teste de razão para determinar o intervalo de valores de
x
para o qual a série é convergente.
Em seguida, avaliamos:
∣
∣
∣
uma
n
+
1
uma
n
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
(
n
+
1
)
3
n
+
1
x
n
+
1
n
3
n
x
n
∣
∣
∣
=
3
(
n
+
1
n
)
|
x
|
Portanto, temos isso:
lim
n
→
∞
∣
∣
∣
uma
n
+
1
uma
n
∣
∣
∣
=
lim
n
→
∞
3
(
n
+
1
n
)
|
x
|
=
3
|
x
|
A série é então absolutamente convergente para
|
x
|
<
1
3
e divergente para
|
x
|
>
1
3
Nos casos em que
|
x
|
=
1
3
o teste de ração é indeciso e temos que analisar em detalhes:
(Eu)
x
=
1
3
∞
∑
n
=
0
n
3
n
x
n
=
∞
∑
n
=
0
n
3
n
(
1
3
)
n
=
∞
∑
n
=
0
n
=
∞
(iI)
x
=
-
1
3
∞
∑
n
=
0
n
3
n
x
n
=
∞
∑
n
=
0
n
3
n
(
-
1
3
)
n
=
∞
∑
n
=
0
(
-
1
)
n
n
Agora, se pudermos considerar as somas parciais da ordem par, temos:
s
2
N
=
2
N
∑
n
=
0
(
-
1
)
n
n
=
N
∑
n
=
0
2
n
-
(
2
n
-
1
)
=
N
enquanto para as somas parciais de ordem ímpar:
s
2
N
+
1
=
s
2
N
-
(
2
N
+
1
)
=
N
-
2
N
-
1
=
-
N
-
1
então a série é irregular.
Em conclusão, a série é convergente para
x
∈
(
-
1
3
,
1
3
) cosidere tudo lado a lado