Question

 n! + (n - 1) = 4(n - 1)! 



4n!= (n + 2)! + (n + 1)! / n + 1 . 


me ajudem!! Tem que resolver elas separadamente, cada uma com o seu resultado! são diferentes.

Answer 1

Olá.

 

Essa primeira expressão está incorreta, pois não permite que seja gerado um valor exato para x. Tornando (n – 1) um fatorial já se teria um valor exato.

 

Como o foco é um enunciado correto, demonstro os cálculos da expressão errado, mas explicarei melhor os dois outros casos.

 

$\mathsf{n! + (n - 1) = 4(n - 1)!}\\\\ \mathsf{n(n - 1)(n - 2)! + (n - 1) = 4(n - 1)(n - 2)!}\\\\ \mathsf{(n - 1)(n(n - 2)! + 1) = 4(n - 1)(n - 2)!}\\\\ \mathsf{n(n-2)!+1=4(n-2)!}\\\\ \mathsf{n(n-2)!-4(n-2)!=-1}\\\\ \mathsf{(n-2)!(n-4)=-1}\\\\ \mathsf{(n-4)=\dfrac{-1}{(n-2)!}}\\\\ \mathsf{n-4=-\left[(n-2)!\right]^{-1}}\\\\ \mathsf{n=-\left[(n-2)!\right]^{-1}+4}$

 

Resolvendo essa expressão, o resultado é diferente:

 

$\mathsf{n!+(n-1)!=4(n-1)!}$

 

O primeiro passo a ser feito é reduzir o n! de forma que também tenha (n – 1)!. Para isso, basta aplicarmos o conceito de fatorial, que é o produto de todos os antecessores naturais de um número até em 1. Como desconhecemos qual o valor de n, podemos definir fatorais do seguinte modo albébrico:

 

$\mathsf{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-2)\cdot(...)\cdot(n-(n-2))\cdot(1)}$

 

Devemos colocar valores iguais em evidência. Se em ambos os membros tivermos valores iguais que multiplicam todos os conteúdos de cada um dos membros, podemos anular. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{n!+(n-1)!=4(n-1)!}\\\\ \mathsf{n\cdot(n-1)!+(n-1)!=4(n-1)!}\\\\ \mathsf{(n-1)!(n+1)=4(n-1)!}\\\\ \mathsf{(n+1)=4}\\\\ \mathsf{n+1=4}\\\\ \mathsf{n=4-1}\\\\ \boxed{\mathsf{n=3}}$

 

Temos que nessa expressão n = 3.

 

Vamos aos cálculos da outra expressão, usando as mesmas propriedades de antes.

 

$\mathsf{4n!=\dfrac{(n+2)!+(n+1)!}{n+1}}\\\\\\ \mathsf{4n!\cdot(n+1)=(n+2)!+(n+1)!}\\\\ \mathsf{4\cdot(n)!\cdot(n+1)=(n+2)\cdot(n+1)\cdot(n)!+(n+1)\cdot(n)!}\\\\ \mathsf{4\cdot(n)!\cdot(n+1)=n![(n+2)\cdot(n+1)+(n+1)]}\\\\ \mathsf{4\cdot(n+1)=(n+2)\cdot(n+1)+(n+1)}\\\\ \mathsf{4n+4=n^2+4n+3}\\\\ \mathsf{n^2+4n-4n+3-4=0}\\\\ \mathsf{n^2-1=0}\\\\ \mathsf{n^2=1}\\\\ \mathsf{n=\sqrt{1}}\\\\ \mathsf{n=\pm1}$

 

Como o fatorial aceita apenas valores naturais, o único valor possível é x = 1.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$