Question

(∀n > 3) ( n! > 2 n )

eu fiz até essa parte que está em anexo mas não sei como completar por indução matématica

Answer 1

Explicação passo a passo:

O primeiro passo você já fez, que é demonstrar a proposição para $n=4$.

Agora, o objetivo é demonstrar que, se a proposição for verdadeira para algum $n$, então também será verdadeira para $n+1$.

Suponha que seja verdadeiro para algum $n$. Logo, temos

$1\times 2\times 3\times ... \times n>2^n$

Multiplicando $(n+1)$ em ambos os lados:

$1\times 2\times 3\times ... \times n\times (n+1)>(n+1)\cdot 2^n$

Como $n\geq 4$, temos $(n+1)>2$ e, portanto, $(n+1)\cdot 2^n>2\cdot 2^n=2^{n+1}$

Logo, concluimos que

$1\times 2\times 3\times ...\times n\times (n+1)>2^{n+1}\\\\(n+1)!>2^{n+1}$

Logo, se vale para n = 4, então vale para n = 5. Se vale para n = 5, então vale para n = 6, e assim por diante. Fim.

(OBS.: Após demonstrar para n = 4, você não tem que provar que vale para n+1. O que você tem que fazer é demonstrar que, se for verdadeiro para algum n, então será verdadeiro para n+1. Acho que você não estava conseguindo avançar por causa disso.)