Question

Multiplique a matriz

C x D=

Answer 1

Para que seja possível multiplicar duas matrizes, é preciso que seja atendida uma condição: o numero de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz.

$A_{m\times n}~\cdot~B_{n\times p}~=~M_{m\times p}$

Podemos notar pelo exemplo acima duas características do produto entre matrizes:

1) A multiplicação de matrizes não é comutativa, portanto multiplicar a matriz A por B é diferente de multiplicar B por A.

$A\cdot B~\ne~B\cdot A$

2) Respeitada a condição para que a multiplicação possa ocorrer, a matriz resultante terá o numero de linhas da 1ª matriz e numero de colunas da 2ª matriz.

Dito isso, podemos ver no exercício que C é uma matriz de ordem (3x1) e D, uma matriz com 3 linhas e 1 colunas (1x3), portanto a multiplicação poderá ser feita.

Dizemos que a multiplicação de matrizes é feita multiplicando-se os vetores linha da 1ª matriz pelos vetores coluna da 2ª, ou seja, cada elemento da matriz resultante será dado pela soma entre os produtos dos elementos das linhas da 1ª matriz pelos elementos das colunas da 2ª matriz de forma ordenada.

Vamos ver um exemplo pra ficar mais simples:

$A~=~\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right]~~~~~B~=~\left[\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{array}\right]\\\\\\\\A\cdot B~=~\left[\begin{array}{ccc}(a_{11}\cdot b_{11}~+~a_{12}\cdot b_{21})&(a_{11}\cdot b_{12}~+~a_{12}\cdot b_{22})\\(a_{12}\cdot b_{11}~+~a_{22}\cdot b_{21})&(a_{12}\cdot b_{12}~+~a_{22}\cdot b_{22})\end{array}\right]$

Vamos então para o exercício proposto:

$M~=~\left[\begin{array}{ccc}-1\\2\\4\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&-1&0\end{array}\right]\\\\\\M~=~\left[\begin{array}{ccc}(-1)\cdot 2&(-1)\cdot (-1)&(-1)\cdot 0\\2\cdot 2&2\cdot (-1)&2\cdot 0\\4\cdot 2&4\cdot (-1)&4\cdot0\end{array}\right] \\\\\\M~=~\left[\begin{array}{ccc}-2&1&0\\4&-2&0\\8&-4&0\end{array}\right] \\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$

Answer 2

Olá, bom dia.

Devemos calcular a matriz resultante do produto entre duas matrizes.

Sejam as matrizes:

$\mathsf{C=\begin{bmatrix}-1\\2\\4\\\end{bmatrix}}$ e $\mathsf{D=\begin{bmatrix}2&-1&0\\\end{bmatrix}}$.

Primeiro, lembre-se que para calcular o produto entre duas matrizes, uma condição deve ser satisfeita: o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado desta multiplicação será outra matriz com a mesma quantidade de linhas da primeira matriz e a quantidade de colunas da segunda matriz:

$\mathsf{A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}=M_{n\times p}}$

Observe que a matriz $\mathsf{C}$ é uma matriz coluna, de ordem $\mathsf{3\times 1}$, em que seus elementos pertencem a uma única coluna. Já a matriz $\mathsf{D}$ é uma matriz linha, de ordem $\mathsf{1\times3}$, em que todos os seus elementos pertencem a uma única linha.

De acordo com a condição anterior, facilmente deduz-se que a matriz resultante terá uma ordem $\mathsf{3\times 3}$, ou ordem $3$.

O processo da multiplicação de matrizes consiste em: somar o produto dos elementos respectivos entre uma linha e uma coluna, nesta ordem. Porém, como temos matrizes coluna e linha, cada termo será apenas um produto.

Multiplicando as matrizes, teremos:

$\mathsf{C\cdot D}=\begin{bmatrix}2\cdot(-1)&(-1)\cdot(-1)&0\cdot(-1)\\2\cdot2&(-1)\cdot2&0\cdot2\\2\cdot4&(-1)\cdot4&0\cdot4\\\end{bmatrix}}$

Multiplique os valores

$\mathsf{C\cdot D}=\begin{bmatrix}-2&1&0\\4&-2&0\\8&-4&0\\\end{bmatrix}}$

Esta é a matriz resultado do produto entre estas matrizes.