Question

MULTIPLICAÇÕES DE MATRIZES:
Dadas as matrizes: calcule (A+B^t) (A^t - B).

Answer 1

$A= \left[\begin{array}{cc}2&0\\-1&1\\3&4\end{array}\right] \ \ \ \ e\ \ \ \ B= \left[\begin{array}{ccc}-1&2&3\\0&1&0\\\end{array}\right] \\ \\ Calcule: \ (A+B^t)(A^t-B)$

          Observe que antes terei de fazer a transposta tanto da matriz A quanto da matriz B para que eu possa substituir na expressão que a questão dá. Quando digo que farei a transposta de uma matriz, basicamente estou dizendo que farei com que tudo aquilo que é linha vire coluna. Ou seja, se tenho uma matriz que é do tipo 2 x 4 - isto é, tem duas linhas e quatro colunas - quando eu fizer a transposta dela, ela ficará do tipo 4 x 2 - terá quatro linhas e duas colunas. Quando quero indicar que a transposta de uma matriz qualquer seja feita, indico assim: $A^t$ , elevando a matriz determinada a "t" - esse "t" é de "transposta". Além disso, observe que as matrizes que colocarei nos cálculos já serão as transpostas.



Parte 1

$\ \left[\begin{array}{cc}2&0\\-1&1&3&4\\\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}-1&0\\2&1&3&0\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2-1&0+0\\-1+2&1+1&3+3&4+0\\\end{array}\right] = \\ \\ \boxed{\boxed{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2&6&4\\\end{array}\right] }}$



Obs: eu dividi o cálculo em partes, pois não dá para colocar tudo junto de uma vez. Veja que a "parte 1" se trata da primeira parte : $A+B^t$  . Assim como você verá que a "parte 2" se tratará da segunda parte: $A^t-B$. E a "parte 3" se tratará da multiplicação das matrizes obtidas tanto na primeira como na segunda partes.



Parte 2

$\left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\0&1&4\\\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}-1&2&3\\0&1&0\\\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}2&-1&3\\0&1&4\\\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}1&-2&-3\\0&-1&0\\\end{array}\right] =\\ \\ \left[\begin{array}{ccc}2+1&-1-2&-3+3\\0+0&-1+1&0+4\\\end{array}\right] =\boxed{\boxed{\left[\begin{array}{ccc}3&-3&0\\0&0&4\\\end{array}\right] }}$

           O que eu fiz aqui foi um princípio de subtração de matrizes. Onde sei que, dadas duas matrizes de mesmo tipo - ou seja, mesma quantidade de linhas e colunas - , chama-se de diferença entre a primeira matriz e a segunda matriz, a soma da primeira matriz com a oposta da segunda. Representa-se assim: 

                                  $\boxed{A-B=A+(-B)}$

            Isto é, eu somei a  primeira matriz - sem alterá-la em nada -  com o oposto da segunda. Ou seja, mudei todos os sinais da segunda matriz - o que era positivo ficou negativo, e o que era negativo ficou positivo.
           Agora, farei a última parte, a de multiplicação. Em multiplicação de matriz, só haverá resultado se o número de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B. Exemplo: matriz A =2x2, matriz B=2x2 . Nesse caso, é possível uma matriz AB, pois atende ao pedido: números de colunas da A é igual ao número de linhas B (pus em negrito a coluna de A e as linhas de B). E ainda seguindo esse exemplo, sei que a matriz AB é do tipo 2x2, ou seja, tem 2 linhas e duas colunas.
          Observe que as duas matrizes que serão multiplicadas são: a da parte um é do tipo 3 X 2 - tem três linhas e duas colunas-; já a da parte dois é do tipo 2 X 3 - tem duas linhas e três colunas. E saiba que a matriz produto que verei no fim será do tipo  3 X 3.



Parte 3

$\left[\begin{array}{cc}1&0\\1&2&6&4\\\end{array}\right] *\left[\begin{array}{cccc}3&-3&0\\0&0&4\\\end{array}\right]= \\ \\ \\ \left[\begin{array}{cccc}1*3+0*0&&1*(-3)+0*0&1*0+0*4\\1*3+2*0&&1*(-3)+2*0&1*0+2*4\\6*3+4*0&&6*(-3)+4*0&6*0+4*4\end{array}\right] = \\ \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}3+0&-3+0&0+0\\3+0&-3+0&0+8\\18+0&-18+0&0+16\end{array}\right] = \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\boxed{ \left[\begin{array}{ccc}3&-3&0\\3&-3&8\\18&-18&16\end{array}\right] }}}$