Question

Multiplicação de matrizes:

Sendo A=
(2 1
3 -1)

e

B=
(0 4 -2
1 -3 5)

Determine, se possível:
a) A.B
b) B.A

Answer 1

Resposta:

a) $D = \left[\begin{array}{ccc}1&5&1\\-1&15&-11\end{array}\right]$

b) Não existe.

Explicação passo-a-passo:

$A = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\3&-1\end{array}\right]$

$B = \left[\begin{array}{ccc}0&4&-2\\1&-3&5\end{array}\right]$

a) A.B

Precisamos primeiro identificar se a multiplicação existe.

Para que seja possível multiplicar matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda, nessa ordem.

Número de colunas (verticais) de A : 2.

Número de linhas (horizontais) de B : 2.

Como são iguais, é possível multiplicar.

Então, para multiplicar, é preciso obedecer 3 passos:

1. Sempre linha x coluna.
2. Multiplique a linha e a coluna termo a termo.
3. Some as multiplicações.

Então vamos lá:

$A . B = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\3&-1\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}0&4&-2\\1&-3&5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\end{array}\right]$

É importante destacar que a ordem da matriz resultante será o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda, nesta ordem.

Chamando a matriz resultante de D, temos que a ordem de D será 2x3, como foi mostrado acima.

Agora fazendo a multiplicação:

• Para achar a, devemos multiplicar a 1ª coluna de A com a 1ª coluna de B. Ou seja, devemos multiplicar a linha e a coluna correspondente de a nas matrizes A e B, pois a linha de a é 1 e a coluna de a é 1. Realizando a multiplicação, temos:

                                         a = 2 x 0 + 1 x 1 = 0 + 1 = 1.

Veja que multiplicamos o primeiro termo da 1ª coluna de A pelo primeiro termo da 1ª coluna de B. É isto que significa multiplicar termo a termo.

Fazendo o mesmo com os outros termos:

                                      b = 2 x 4 + 1 x (-3) = 8 - 3 = 5.

                                      c = 2 x (-2) + 1 x (5) = -4 + 5 = 1.

                                      d = 3 x (0) + (-1) x 1 = 0 - 1 = -1.

                                      e = 3 x 4 + (-1) x (-3) = 12 + 3 = 15.

                                      f = 3 x (-2) + (-1) x (5) = -6 -5 = 11.

Substituindo na matriz, finalmente temos que:

$A . B = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\3&-1\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}0&4&-2\\1&-3&5\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&5&1\\-1&15&-11\end{array}\right]$ .

b) B.A

Temos que repetir o procedimento e descobrir se é possível multiplicar B e A nesta ordem.

Número de colunas de B: 3.

Número de linhas de A: 2.

Como são diferentes, logo é impossível multiplicá-las nesta ordem.

Perceba, assim, que a ordem na multiplicação de matrizes é fundamental. Portanto, a multiplicação não é comutativa, ou seja, A.B ≠ B.A na maioria dos casos.