Multiplicação de matrizes:
Sendo A=
(2 1
3 -1)
e
B=
(0 4 -2
1 -3 5)
Determine, se possível:
a) A.B
b) B.A
Soluções para a tarefa
Resposta:
a)
b) Não existe.
Explicação passo-a-passo:
a) A.B
Precisamos primeiro identificar se a multiplicação existe.
Para que seja possível multiplicar matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda, nessa ordem.
Número de colunas (verticais) de A : 2.
Número de linhas (horizontais) de B : 2.
Como são iguais, é possível multiplicar.
Então, para multiplicar, é preciso obedecer 3 passos:
- Sempre linha x coluna.
- Multiplique a linha e a coluna termo a termo.
- Some as multiplicações.
Então vamos lá:
É importante destacar que a ordem da matriz resultante será o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda, nesta ordem.
Chamando a matriz resultante de D, temos que a ordem de D será 2x3, como foi mostrado acima.
Agora fazendo a multiplicação:
- Para achar a, devemos multiplicar a 1ª coluna de A com a 1ª coluna de B. Ou seja, devemos multiplicar a linha e a coluna correspondente de a nas matrizes A e B, pois a linha de a é 1 e a coluna de a é 1. Realizando a multiplicação, temos:
a = 2 x 0 + 1 x 1 = 0 + 1 = 1.
Veja que multiplicamos o primeiro termo da 1ª coluna de A pelo primeiro termo da 1ª coluna de B. É isto que significa multiplicar termo a termo.
Fazendo o mesmo com os outros termos:
b = 2 x 4 + 1 x (-3) = 8 - 3 = 5.
c = 2 x (-2) + 1 x (5) = -4 + 5 = 1.
d = 3 x (0) + (-1) x 1 = 0 - 1 = -1.
e = 3 x 4 + (-1) x (-3) = 12 + 3 = 15.
f = 3 x (-2) + (-1) x (5) = -6 -5 = 11.
Substituindo na matriz, finalmente temos que:
.
b) B.A
Temos que repetir o procedimento e descobrir se é possível multiplicar B e A nesta ordem.
Número de colunas de B: 3.
Número de linhas de A: 2.
Como são diferentes, logo é impossível multiplicá-las nesta ordem.
Perceba, assim, que a ordem na multiplicação de matrizes é fundamental. Portanto, a multiplicação não é comutativa, ou seja, A.B ≠ B.A na maioria dos casos.