Question

Multipla Escolha.

Sabendo que:

1) V é múltiplo escalar do vetor
U = (-1,1,2), ou seja, V = aU
e
2) O produto escalar de V por U é 12;

A norma do vetor V é:

a) 3 raiz de 6.
b) 2 raiz de 6.
c) 6.
d) 2 raiz de 14.
e) 2 raiz de 11.​​

Answer 1

A norma do vetor v é 6√6.

Vamos considerar que v = (x,y,z).

De acordo com o enunciado, os vetores u = (-1,1,2) e v = (x,y,z) são múltiplos, ou seja:

(x,y,z) = a(-1,1,2)

(x,y,z) = (-a,a,2a).

Além disso, o produto escalar u.v é igual a 12, ou seja:

(x,y,z).(-1,1,2) = 12

-x + y + 2z = 12.

Porém, observe que x = -a, y = a e z = -2a. Sendo assim:

-(-a) + a + 2(-2a) = 12

a + a - 4a = 12

-2a = 12

a = -6.

Portanto, podemos afirmar que o vetor v é igual a v = (6, -6, 12).

Agora, calculando a sua norma, obtemos:

||v||² = 6² + (-6)² + 12²

||v||² = 36 + 36 + 144

||v||² = 216

||v|| = √216

||v|| = 6√6.

Answer 2

A norma do vetor v é  $\mathsf{2\sqrt{6}}$.

$\dotfill$

É dado o vetor u = (-1, 1, 2) e é dito que o vetor v é múltiplo escalar de u, ou seja, $\mathsf{v=a \cdot u}$. Sabe-se também que o produto escalar entre u e v é 12. Ademais, pede-se para determinar a norma do vetor v.

$\hrulefill$

Definição (Produto escalar): Sejam $\mathsf{v_{1}=(x_{1},\,y_{1},\,z_{2})}$ e $\mathsf{v_{2}=(x_{2},\,y_{2},\,z_{2})}$ dois vetores do espaço $\mathbb{R}^{\mathsf{3}}$. O produto escalar entre os vetores $\mathsf{v_{1}}$ e $\mathsf{v_{2}}$, que será representado por $\mathsf{\langle v_{1},\,v_{2}\rangle}$, é definido da seguinte forma:

$\boxed{\mathsf{\langle v_{1},\,v_{2}\rangle=x_{1}\cdot x_{2}+ y_{1}\cdot y_{2}+z_{1}\cdot z_{2}}}$

$\hrulefill$

Considere o vetor v dado como v = (x, y, z). Como ele múltiplo escalar de u, então:

$\mathsf{(x,\,y,\,z)=a(-1,\,1,\,2)}\implies\mathsf{(x,\,y,\,z)=(-a,\,a,\,2a)}\implies\\\\\implies\boxed{\mathsf{v=(-a,\,a,\,2a)}}$

Como o produto escalar entre u e v é 12, isto é, $\mathsf{\langle u,\,v\rangle=12}$, temos:

$\mathsf{\langle u,\,v \rangle=(-1)\cdot (-a)+ 1\cdot a+2\cdot (2a)}\implies\\\\\implies\mathsf{12 =a+a+4a}\implies\\\\\implies\mathsf{12=6a}\implies\\\\\implies\mathsf{a=\dfrac{12}{6}}\implies\\\\\implies\boxed{\mathsf{a=2}}$

Dessa forma, sendo $\mathsf{v=(-a,\,a,\,2a)}$ e a = 2, segue que v = (-2, 2, 4).

Encontramos o vetor v. Agora vamos determinar a norma.

$\hrulefill$

Definição (Norma): Seja $\mathsf{v=(x,\,y,\,z)}$ um vetor do espaço vetorial  $\mathbb{R}^{\mathsf{3}}$ com o produto escalar conforme definido anteriormente. A norma (ou comprimento) de v, que será denotada por $\mathsf{|v|}$, em relação a tal produto escalar é definida por:

$\boxed{\mathsf{|v|=\sqrt{\langle v,\,v \rangle}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}$

$\hrulefill$

Dada a definição, vamos determinar a norma do vetor v = (-2, 2, 4).

$\mathsf{|v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\implies\\\\\implies\mathsf{|v|=\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(4)^2}}\implies\\\\\implies\mathsf{|v|=\sqrt{4+4+16}}\implies\\\\\implies\mathsf{|v|=\sqrt{24}}\implies\\\\\implies\mathsf{|v|=\sqrt{2^2\cdot 2\cdot 3}}\implies\\\\\implies\mathsf{|v|=2\sqrt{6}}$

Portanto, a norma do vetor v é:

$\boxed{\boxed{\mathsf{|v|=2\sqrt{6}}}}$

Resposta: alternativa b)

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado. :)

$\dotfill$

Aprenda mais:

Caso queira aprender mais, veja nos links a seguir tarefas respondidas que podem auxiliar no seu conhecimento sobre Álgebra Linear.

• Espaco vetorial:

https://brainly.com.br/tarefa/9999438

• Subespaço vetorial:

https://brainly.com.br/tarefa/17541623

• Produto escalar e produto vetorial:

https://brainly.com.br/tarefa/3898988