Question

Muitas vezes para o cálculo de integrais temos que utilizar de técnicas que tornam integrais complexas
mais simples de ser resolvidas. Um desses métodos é o da mudança de variável ou substituição. Com base
em informações sobre esse método calcule a integral que segue
| 2x(x + 1)2 dx
Assinale a alternativa que contém o resultado correto dessa integral.

Answer 1

Com base nos conceitos básicos de integral, temos que a integral da função 2x(x+1)² é x^4/2 + (4 x^3)/3 + x^2 + constante.

Para chegar a essa resposta é importante saber os conceitos envolvendo integrais, principalmente para funções polinomiais, que são as funções com as quais trabalharemos nessa questão.

Integral de uma função polinomial

• Da mesma forma, a integral de uma função polinomial é uma das integrais mais simples.
• Se eu desejo integrar uma função $ax^{n}$, basta dividir  por  e somar 1 ao expoente. Ficaria então, $\frac{ax^{n+1}}{n+1}$.

Com base nessas informações, é possível responder o que se pede:

∫2x(x+1)²dx

Fazendo u = x + 1 e du = dx, temos:

2∫(u-1)u²du

2∫(u³ - u²)du

2($u^{4}$/4 - u³/3)

$u^{4}$/2 - 2u³/3

Voltando para u = x + 1

$(x+1)^{4}/2 - 2(x+1)^3/3$

A forma expandida dessa expressão é: x^4/2 + (4 x^3)/3 + x^2 + constante

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