Question

Mudanças de coordenadas em integrais triplas são transformações biunívocas que levam uma região A no espaço xyz em uma região B do espaço (nas novas coordenadas uvw). Usualmente são escritas na forma:

x= f(u,v,w)
y= g(u,v,w)
z= h(u,v,w)

As funções f,g,h são funções de classe C^1 ( ou seja f, g, h são funções deriváveis contínuas). Então é valida a seguinte expressão:

(FIGURA 01)

considere a mudança de coordenadas dada por:

x= 2u +v -2w
y= -v/2+3w
z= w/5

qual o valor do jacobiano desta transformação?

A) -1/5
B) 0
C) 3
D) 4/5
E) 2/3

se possível rápido... obrigado!!!

Answer 1

Resposta:

- 1/5

Explicação passo-a-passo:

https://brainly.com.br/tarefa/8569608

Answer 2

O jacobiano vale -1/5.

A maneira mais simples de encontrarmos o Jacobiano é calculando separadamente cada derivada parcial e depois montarmos a matriz e por fim calcularmos seu determinante.

Já nos foram fornecidas as relações de transformação de (x,y,z) para (u,v,w). São elas que vamos derivar, separadamente.

Derivando em relação a u:

$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(2u + v - 2w) = 2 + 0 - 0 = 2$

$\frac{\partial y}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(-v/2 + 3w) = - 0 + 0 = 0$

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial}{\partial u}(w/5) = 0$

Derivando em relação a v:

$\frac{\partial x}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(2u + v - 2w) = 0 + 1 - 0 = 1$

$\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(-v/2 + 3w) = -1/2 + 0 = -1/2$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial}{\partial v}(w/5) = 0$

Derivando em relação a w:

$\frac{\partial x}{\partial w} = \frac{\partial}{\partial w}(2u + v - 2w) = 0 + 0 - 2 = - 2$

$\frac{\partial y}{\partial w} = \frac{\partial}{\partial w}(-v/2 + 3w) = - 0 + 3 = 3$

$\frac{\partial z}{\partial w} = \frac{\partial}{\partial w}(w/5) = 1/5$

Logo, teremos a seguinte matriz jacobiana:

$\left[\begin{array}{ccc}2&1&-2\\0&-1/2&3\\0&0&1/5\end{array}\right]$

Podemos ver claramente que se trata de uma matriz triangular superior. Nesse caso o Jacobiano, ou seja, o determinante dessa matriz, será o produto dos elementos de sua diagonal principal, ou seja:

J = 2*(-1/2)*(1/5) = (-1)*(1/5) = -1/5

Você pode aprender mais sobre Determinantes aqui: https://brainly.com.br/tarefa/18898490