Question

Movimento Harmônico Simples é o movimento periódico oscilatório em que um sistema vibra com uma certa amplitude em torno de um ponto de equilíbrio. Um determinado MHS é defenido por m(t)=3cos( pi/2 t- pi/4), em que t é o tempo, em segundos,e m é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio no tempo L.

A) qual é o deslocamento máximo desse MHS?
Para quais tempos isso acontece?

B) Para quais tempos esse MHS está em posição de equilibrio, ou seja, o deslocamento é nulo?

Answer 1

a) O valor máximo de um cosseno é um, portanto o deslocamento máximo é 3.1=3. O cosseno será máximo, e portanto o deslocamento, para ângulos de 0º e 180º. Dessa maneira, escrevendo esses ângulos em radianos, temos que:

$\frac{\pi}{2}t- \frac{\pi}{4}=0$
$\frac{\pi}{2}t = \frac{\pi}{4} t=0,5s$

$\frac{\pi}{2}t- \frac{\pi}{4}=\pi$
$\frac{\pi}{2}t= \frac{5\pi}{4} t=2,5s$

Vale lembrar que esse deslocamento máximo será atingido toda vez que se passar o tempo necessário para o movimento se repetir (ou seja, toda vez que se passar um período), de maneira que os tempos seriam iguais a 0,5+T.n e 2,5+T.n, com T representando o período e n o número de períodos transcorridos. Calculamos o período por (perceba que b é o número que multiplica t na equação que define o movimento, seu coeficiente):

$T= \frac{2\pi}{b}$
$T= \frac{2\pi}{ \frac{1\pi}{2}} T=4s$

Então a resposta mais adequada seria 0,5+4n e 2,5+4n.

b)Para isso, cos=0, ou seja, o ângulo do cosseno é igual a 90º ou 270º. Então:

$\frac{\pi}{2}t- \frac{\pi}{4}= \frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2}t= \frac{3\pi}{4} t=1,5s$

$\frac{\pi}{2}t- \frac{\pi}{4}= \frac{3\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2}t= \frac{7\pi}{4} t=3,5s$

Generalizando, 1,5+4n e 3,5+4n.