movimentação de cargas realizada pela empresa X, em 2017, gerou uma receita líquida (RL) de 20 milhões de reais, enquanto sua principal concorrente, a empresa Y, anunciou, no mesmo ano, uma receita líquida (RL) de 10 milhões de reais. Apesar dessa diferença, um analista observou que a RL anual da empresa X tem apresentado, nos últimos 3 anos, uma taxa de crescimento de 8% ao ano, em relação ao ano anterior, bem abaixo da taxa de crescimento de 14% ao ano apresentada pelas RL da empresa Y, no mesmo período.
Assim, considerando-se as aproximações fornecidas no Quadro a seguir, o valor que mais se aproxima do tempo mínimo necessário, em anos, para que a RL da empresa Y ultrapasse a RL da empresa X, é igual a (log2= 0,301 log3=0,477 log114=2,057
Soluções para a tarefa
O tempo mínimo necessário para que a RL da empresa Y ultrapasse a RL da empresa X é igual a 13 anos.
As funções das RLs para as empresas X e Y, em milhões de reais, são:
RLX(n) = 20.(1,08)ⁿ
RLY(n) = 10.(1,14)ⁿ
Para que a RL da empresa Y seja maior que a RL da empresa X, é necessário que:
RLY(n) > RLX(n)
10.1,14ⁿ > 20.1,08ⁿ
1,14ⁿ > 2.1,08ⁿ
Podemos escrever 1,14 e 1,08 como 114/100 e 108/100, respectivamente:
(114/100)ⁿ > 2.(108/100)ⁿ
Aplicando o logaritmo em ambos os lados, e aplicando suas propriedades:
log (114/100)ⁿ > log 2.(108/100)ⁿ
n.(log 114 - log 100) > log 2 + n.(log 108 - log 100)
Podemos escrever 108 como 2².3³:
n.(log 114 - log 100) > log 2 + n.(log 2².3³- log 100)
n.(log 114 - log 100) > log 2 + n.(2.log 2 + 3.log 3 - log 100)
n.(2,057 - 2) > 0,301 + n.(2.0,301 + 3.0,477 - 2)
0,057.n > 0,301 + 0,033.n
0,024.n > 0,301
n > 12,54 anos
O tempo mínimo será de 13 anos.