Question

. Mostre, usando um triˆangulo retˆangulo com lados a, b e c, a rela¸c˜ao fundamental da trigonometria: sin ² (θ) + cos ² (θ) = 1.

Answer 1

Supomos, sem perda de generalidade, que $c$ é a hipotenusa e que $a$ é o cateto adjacente ao ângulo $\theta$. Pelas definições de seno e cosseno, tem-se:
• $\cos\theta = \dfrac{a}{c}$
• $\sin\theta = \dfrac{b}{c}$

Deste modo:
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = \left(\dfrac{a}{c}\right)^2+\left( \dfrac{b}{c}\right)^2 = \dfrac{a^2 + b^2}{c^2}$

Pelo teorema de Pitágoras, sabemos que:
$a^2 + b^2 = c^2$

Finalmente:
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = \dfrac{c^2}{c^2} = 1$

Fica assim provada a fórmula fundamental da trigonometria.