Question

Mostre se a função a seguir é contínua em x=3

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = 3x {}^{3} - 2x {}^{2} + 1$

A questão quer a demonstração de que a função é sim continua em x = 3, na realidade nem precisaria provar, já que a função é polinomial, ou seja, é contínua em todo o seu domínio, mas para provar vamos usar os seguintes passos

$1) \: f(x) \to con t \acute{i}nua \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ 2)\lim_{x\to a^{+}}f(x) = \lim_{x\to a^{ - }}f(x) \\ \\ 3)\lim_{x\to a^{}}f(x) = f(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

O enunciado pergunta se ela é contínua em x = 3, então para o primeiro passo vamos apenas substituir o valor informado:

$f(3) = 3x {}^{3} - 2x {}^{2} + 1 \: \:\\ f(3) = 3.3 {}^{3} - 2. {3}^{2} + 1 \\ f(3) = 27 - 18 + 1 \: \: \: \: \: \: \\ f(3) = 10 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Primeiro passo está ok, agora para o segundo devemos verificar os limites laterais quando eles tendem a 3:

$\lim_{x\to 3^{+}}3x {}^{3} - 2x {}^{2} + 1 = \lim_{x\to 3^{+}}3x {}^{3} - 2x {}^{2} + 1 \\ 3.3 {}^{3} - 2.3 {}^{2} + 1 = 3.3 {}^{3} - 2.3 {}^{2} + 1 \\ 10 = 10$

Por fim, tem-se:

$\lim_{x\to a^{+}}f(x) = f(x) \\ 10 = 10$

Portanto podemos concluir que a função é sim continua em x = 3