Question

Mostre que y1(x) = x^3 e uma solução da equação diferencial
2x^2y''− xy' − 9y = 0.
Encontre uma função u(x) tal que y2(x) = u(x)y1(x) seja solução da equação dada.

Answer 1

Resposta:

Substituindo x^3 em 2x^2y'' - xy' - 9y:

2x^2(x^3)'' - x(x^3)' - 9(x^3) = 2x^2(6x) - x(3x^2) - 9(x^3) = 12x^3 - 3^3 - 9x^3 = 0

Logo, y1 é solução da EDO 2x^2y'' - xy' - 9y = 0.

Se y2 = u(x)y1(x) = u(x)x^3 é solução da EDO 2x^2y'' - xy' - 9y = 0, então:

2x^2(ux^3)'' - x(ux^3)' - 9(ux^3) = 0

→ 2x^2(u''x^3 + 3u'x^2 + 3u'x^2 + 6ux) - x(u'x^3 + 3ux^2) - 9ux^3 = 0

→ 2(u''x^2 + 3u'x + 3u'x + 6u) - (u'x + 3u) - 9u = 0

→ 2u''x^2 + 6u'x + 6u'x + 12u - u'x - 3u - 9u = 0

→ 2u''x^2 + 11u'x = 0

A EDO 2u''x^2 + 11u'x = 0 é uma EDO de Euler-Cauchy que pode ser resolvida com a substituição u = x^m:

2(x^m)''x^2 + 11(x^m)'x = 0

→ 2[m(m-1)x^(m-2)]x^2 + 11(mx^(m-1))x = 0

→ 2m(m-1)x^m + 11mx^m = 0

→ 2m(m-1) + 11m = 0

→ 2m^2 + 9m = 0

→ m = 0 e m = -9/2

Portanto, a solução geral da EDO 2u''x^2 + 11u'x = 0 é:

u(x) = C1x^0 + C2x^(-9/2) = C1 + C2x^(-9/2)

Assim:

y2 = u(x)x^3 = (C1 + C2x^(-9/2))x^3 = C1x^3 + C2x^(-3/2)

Substituindo C1x^3 + C2x^(-3/2) em 2x^2y'' - xy' - 9y:

2x^2(C1x^3 + C2x^(-3/2))'' - x(C1x^3 + C2x^(-3/2))' - 9(C1x^3 + C2x^(-3/2)) = 0

Logo, y2 é solução da EDO  2x^2y'' - xy' - 9y = 0.

A solução geral da EDO 2x^2y'' - xy' - 9y = 0 é:

y(x) = K1y1(x) + K2y2(x) = K1x^3 + K2x^(-3/2)

mauk03

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Fera

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Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Resposta:

Citado por 1 — 2 u. ∂y2. = 0. (Equação de Laplace) é uma equação diferencial ... Mostre que y = c1ex + c2e−2x é uma família a 2-parâmetros de ... Seja a equação diferencial x′ = (x−1) cos t e suponha que x é uma ... Ache a solução geral da equação diferencial 9y y′ + 4x = 0. ... dy = 0 e então encontre sua solução.

Explicação passo-a-passo: