Question

Mostre que você é o bichao mesmo ao resolver essas inequações;
Resolva a inequação em R:
a) 1/(x-1) < 2/(x-2)

b) 2/(3x-1)≥ 1/(x-1) - 1/(x+1)

c) (1-2x)/(5-x).(3-x)≤0

Answer 1

Vamos lá.

Finalmente, Lucas, uma terceira oportunidade apareceu. Como já respondemos as questões "a" e "b", vamos, por fim, responder à questão "c", que é esta:

c) (1-2x) / [(5-x)*(3-x)] ≤ 0 ---- vamos efetuar o produto indicado no denominador, com o que ficaremos:

(1-2x) / (15 - 8x + x²) ≤ 0 ---- ordenando o denominador, ficaremos com:
(1-2x) / (x² - 8x + 15) ≤ 0

Agora veja: ficamos com uma inequação-quociente, constituída de uma equação do 1º grau no numerador, que é f(x) = 1-2x, e uma equação do 2º grau no denominador, que é g(x) = x² - 8x + 15.
Faremos o mesmo que já fizemos nas outras duas questões suas, ou seja, encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois analisaremos a variação de sinais e, finalmente, veremos qual é o conjunto-solução da inequação originalmente dada.
Assim, teremos;

f(x) = 1 - 2x ---> raízes: 1 - 2x = 0 ---> - 2x = - 1 ---> 2x = 1 ---> x = 1/2
g(x) = x²-8x+15 ---> raízes: x²-8x+15 = 0 ---> x' = 3; x'' = 5.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações, em função de suas raízes. Assim:

a) f(x) = 1 - 2x ........ + + + + + + + +(1/2) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) g(x) = x²-8x+15...+ + + + + + + + + + + + + + (3)- - - - - - - (5)+ + + + + + + + + +
c) a/b...................... + + + + + + + +(1/2)- - - - - -(3) + + + + +(5) - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a divisão de f(x) por g(x) seja MENOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS ou igual a zero no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).

Assim, o  intervalo que vai servir será este:

1/2 ≤ x < 3 , ou x > 5 ------ Esta é a resposta.

Ou, se quiser, o conjunto-solução poderá ser dado da seguinte forma:

S = {x ∈ R | 1/2 ≤ x < 3, ou x > 5}.

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser dado da seguinte forma, o que significa o mesmo:

S = [1/2; 3[ ∪ ]5; +∞[
ou, o que é equivalente a:
S = [1/2; 3) ∪ (5; +∞) .

Aí você poderá tornar a perguntar: se a inequação original deveria ser ≤ 0, então porque os intervalos não serão todos fechados?
Resposta: porque "3" e "5" são raízes do denominador. Se fôssemos admitir que o "3" e o "5" entrassem no intervalo, então estaríamos admitindo uma divisão por zero e isso não existe (como você sabe, toda raiz zera a equação da qual ela é raiz]. Logo, o "3" e o "5" não entram no intervalo. Por isso o intervalo quando se refere a cada um desses números será sempre aberto para o caso da inequação da sua questão, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.