Question

Mostre que todo número primo maior do que 3 é da forma 6k + 1 ou 6k + 5, com k inteiro.

(Dica: Analise os possíveis restos da divisão euclidiana do número primo por 3).

Answer 1

Sabemos que um número ao ser dividido por 6 pode deixar como resto: 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, ou seja, o número é da forma:

6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4 ou 6k + 5.

Vamos analisar cada caso:

Se n = 6k, então n é múltiplo de 6. Portanto, n não é primo.

Se n = 6k + 1, então n pode ser primo.

Se n = 6k + 2 = 2(3k + 1), então n é múltiplo de 2. Portanto, n não é primo.

Se n = 6k + 3 = 3(2k + 1), então n é múltiplo de 3. Portanto, n não é primo.

Se n = 6k + 4 = 2(3k + 2), então n é múltiplo de 2. Portanto, n não é primo.

Se n = 6k + 5, então n pode ser primo.

Portanto, n pode ser da forma 6k + 1 ou 6k + 5.