Question

Mostre que todo gráfico de uma função do 2º grau cuja lei é dada por
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$\mathsf{f(x)=ax^2+bx+c\qquad(a\ne 0)}$

possui a reta vertical $\mathsf{x=-\,\dfrac{b}{2a}}$ como um eixo de simetria.
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Answer 1

Para verificar isso, devemos mostrar que $f(-\frac{b}{2a}+p)=f(-\frac{b}{2a}-p)~\forall~p\in\mathbb{R}$ tal que $-\frac{b}{2a}\pm p\in Dom\{f\}$. Como a função é polinomial, temos $Dom\{f\}=\mathbb{R}$, logo $-\frac{b}{2a}\pm p\in\mathbb{R}~~\forall~p\in\mathbb{R}$

Seja $p\in\mathbb{R}$ fixo:

$f(-\frac{b}{2a}-p)=a(-\frac{b}{2a}-p)^{2}+b(-\frac{b}{2a}-p)+c\\\\=a(\frac{b}{2a}+p)^{2}-b(\frac{b}{2a}+p)+c\\\\=a(\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{b}{a}p+p^{2})-\frac{b^{2}}{2a}-bp+c\\\\=\frac{b^{2}}{4a}+bp+ap^{2}-\frac{2b^{2}}{4a}-bp+c\\\\=ap^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c$

Por outro lado,

$f(-\frac{b}{2a}+p)=a(-\frac{b}{2a}+p)^{2}+b(-\frac{b}{2a}+p)+c\\\\=a(p^{2}-\frac{b}{a}p+\frac{b^{2}}{4a^{2}})-\frac{b^{2}}{2a}+bp+c\\\\=ap^{2}-bp+\frac{b^{2}}{a}-\frac{2b^{2}}{4a}+bp+c\\\\=ap^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c$

Como $f(-\frac{b}{2a}+p)=f(-\frac{b}{2a}-p)$ para um $p$ real qualquer, temos que o gráfico de $f$ possui a reta vertical $x=-\frac{b}{2a}$ como eixo de simetria.