Question

Mostre que:$\lim_{x \to 0} (1+2x)^\frac{1}{x} = e^2$

Answer 1

Resposta:

Vide abaixo

Explicação passo-a-passo:

Temos que:

lim (1+2x)^(1/x)

x→0

Fazendo 1/(2x)=u, temos que, se x->0, u->infinito, logo substituindo temos:

lim (1 + 1/u)^(2u)

u->inf.

lim { (1 + 1/u)^u }^2

u->inf.

{ lim (1 + 1/u)^u }^2

u->inf.

Como lim (1 + 1/u)^u = e, então:

u->inf.

{ lim (1 + 1/u)^u }^2 =

u->inf.

{ e }^2

e^2

Blz?

Abs :)

Answer 2

Limite exponencial fundamental

$\huge\displaystyle\mathtt{\lim_{t \to \infty}{(1+\dfrac{1}{t})}^{t} = e}$

$\displaystyle\mathtt{\lim_{x \to 0} (1+2x)^\frac{1}{x} }$

$\mathtt{\dfrac{1}{u}=2x\to\,\dfrac{1}{x}=2u}\\\mathtt{x\to\,0~se~u\to\,\infty}$

substituindo temos

$\displaystyle\mathtt{\lim_{x \to 0} (1+2x)^\frac{1}{x} } = \displaystyle\mathtt{\lim_{u \to \infty} (1+ \dfrac{1}{u} )^{2u}}$

$\displaystyle\mathtt{\lim_{u \to \infty} (1+ \dfrac{1}{u} )^{2u}} = [{\displaystyle\mathtt{\lim_{u \to \infty} (1+ \dfrac{1}{u} )^{u}}}] ^{2} \\ = \huge{ {e}^{2} }$