Question

mostre que senx-seny menor ou igual x-y para quaisquer x,y pertence aos reais

Answer 1

Queremos demonstrar que |sen(x) - sen(y)| ≤ |x - y|.

Sabemos que $sen(x) - sen(y) = 2.sen(\frac{x-y}{2}).cos(\frac{x+y}{2})$ (Transformação em produto).

Sendo assim, temos que:

$|sen(x) - sen(y)| = |2.sen(\frac{x-y}{2}).cos(\frac{x+y}{2})|$.

Pela propriedade de módulo, sabemos que: |x.y| = |x|.|y|.

Logo,

$|sen(x) - sen(y)| = |2|.|sen(\frac{x-y}{2})|.|cos(\frac{x+y}{2})|$.

Como |2| = 2 e |cos(a)| ≤ 1, temos que:

$|sen(x) - sen(y)| \leq 2.|sen(\frac{x-y}{2})|$.

Além disso, sabemos que |sen(a)| ≤ |a|.

Daí,

$|sen(x) - sen(y)| \leq 2.|\frac{x-y}{2}|$

Perceba que podemos reescrever a inequação acima da seguinte maneira:

$|sen(x)-sen(y)| \leq 2.|(x-y).\frac{1}{2}|$

$|sen(x) - sen(y)| \leq 2.|x - y|.|\frac{1}{2}|$.

Como $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$, então:

$|sen(x) - sen(y)| \leq 2.|x - y|.\frac{1}{2}$

Portanto, podemos concluir que |sen(x) - sen(y)| ≤ |x - y|.