Question

Mostre que: senx+cosx/senx-cosx=1+cotgx/1-cotgx

Answer 1

Olá


$\displaystyle \mathsf{ \frac{senx+cosx}{senx-cosx}= \frac{1+ctgx}{1-ctgx} }\\\\\\\\\text{Vamos manipular}~\mathsf{\frac{1+ctgx}{1-ctgx} }~\text{para chegar em }~\mathsf{\frac{senx+cosx}{senx-cosx}}$


Sabemos que:


$\displaystyle \mathsf{ctgx= \frac{cosx}{senx} }$



Substituindo, ficamos com:


$\displaystyle \mathsf{ \frac{1+ \frac{cosx}{senx} }{1- \frac{cosx}{senx}} }$



Faz o MMC


$\displaystyle \mathsf{ \frac{ \frac{senx+cosx}{senx} }{ \frac{senx-cosx}{senx}} }$



Temos uma divisão de frações, então, multiplica a primeira fração pelo inverso da segunda;


$\displaystyle \mathsf{ \frac{senx+cosx}{senx}~ \cdot~ \frac{senx}{senx-cosx} }$


Simplifica


$\displaystyle \mathsf{ \frac{senx+cosx}{\diagup\!\!\!\!\!\!\!{senx}}~ \cdot~ \frac{\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!{senx}}{senx-cosx} }\\\\\\\\\mathsf{ \frac{senx+cosx}{senx-cosx} }$


Comparando as igualdades

$\displaystyle \boxed{\mathsf{ \frac{senx+cosx}{{senx-cosx}} }~=~ \mathsf{ \frac{senx+cosx}{{senx-cosx}} }}\qquad\qquad\qquad \checkmark$



Como se queria demonstrar.




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$\mathsf{AvengerCrawl\left(\smile \!\!\!\!\!\!\!^{'~'}\right)}$