Question

Mostre que ( sen(x).sec(x) ):tg(x) = 1 e Mostre que tg(a-b) = (tga - tgb): 1 + tga . tgb

Answer 1

Sabendo que:

$sec(x)~=~\dfrac{1}{cos(x)}\\\\\\tg(x)~=~\dfrac{sen(x)}{cos(x)}$

Substituindo estas informações na expressão dada:

$\dfrac{sen(x)\cdot sec(x)}{tg(x)}~~=~~\dfrac{sen(x)\cdot\dfrac{1}{cos(x)}}{tg(x)}\\\\\\\dfrac{sen(x)\cdot sec(x)}{tg(x)}~~=~~\dfrac{\dfrac{sen(x)\cdot1}{cos(x)}}{tg(x)}\\\\\\\dfrac{sen(x)\cdot sec(x)}{tg(x)}~~=~~\dfrac{tg(x)}{tg(x)}\\\\\\\boxed{\dfrac{sen(x)\cdot sec(x)}{tg(x)}~~=~~1}$

Para a 2ª relação, tangente da diferença entre dois arcos, como nada foi dito a respeito, vamos assumir que seja permitido utilizar as relações do seno e cosseno da diferença entre dois arcos.

$tg(a-b)~~=~~\dfrac{sen(a-b)}{cos(a-b}\\\\\\tg(a-b)~=~\dfrac{sen(a)\cdot cos(b)~-~sen(b)\cdot cos(a)}{cos(a)\cdot cos(b)~+~sen(a)\cdot sen(b)}\\\\\\Dividindo~o~numerador~e~denominador~por~cos(a)\\\\\\tg(a-b)~=~\dfrac{\dfrac{sen(a)}{cos(a)}\cdot cos(b)~-~sen(b)\cdot \dfrac{cos(a)}{cos(a)}}{\dfrac{cos(a)}{cos(a)}\cdot cos(b)~+~\dfrac{sen(a)}{cos(a)}\cdot sen(b)}$

$tg(a-b)~=~\dfrac{tg(a)\cdot cos(b)~-~sen(b)\cdot 1}{1\cdot cos(b)~+~tg(a)\cdot sen(b)}\\\\\\Dividindo~numeador~e~denominador~por~cos(b)\\\\\\tg(a-b)~=~\dfrac{tg(a)\cdot \dfrac{cos(b)}{cos(b)}~-~\dfrac{sen(b)}{cos(b)}}{\dfrac{cos(b)}{cos(b)}~+~tg(a)\cdot \dfrac{sen(b)}{cos(b)}}\\\\\\tg(a-b)~=~\dfrac{tg(a)\cdot 1~-~tg(b)}{1~+~tg(a)\cdot tg(b)}\\\\\\\boxed{tg(a-b)~=~\dfrac{tg(a)~-~tg(b)}{1~+~tg(a)\cdot tg(b)}}$