Question

Mostre que segmento que une os pontos medios de dois lados de um triangulo a) é paralelo ao terceiro lado. B) tem comprimento igual a metade do comprimento do terceiro lado

Answer 1

Podemos provar ambas proposições usando álgebra linear

Veja o anexo representando um triângulo qualquer, e, sem perda de generalidade, com os pontos médios de dois lados AB e AC, representados por M e N, respectivamente
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Sabemos que, como M e N são os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente, então

$\bullet\,\,\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\\\\bullet\,\,\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

Além disso, podemos notar, pela forma (geométrica) de somar vetores, que $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AM}$

então,

$\bullet\,\,\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}$

Substituindo $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, temos

$\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}\\\\\overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\\\\overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}\big(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\big)$

Mas, podemos ver que $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ (outro jeito de visualizar $\vec{v}-\vec{u}$ é como sendo o vetor que sai da ponta de $\vec{u}$ e chega na ponta de $\vec{v}$, como ocorre na figura)

Então, concluímos que

$\overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}\big(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\big)\\\\\overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$

Por definição, $\overrightarrow{NM}$ e $\overrightarrow{CB}$ são vetores paralelos. Portanto, as retas que contém esses vetores são paralelas, logo, o segmento de reta $NM$ é paralelo ao segmento de reta $CB$, pois esses segmentos estão contidos nas retas citadas). Isso prova a primeira parte.

Para provar a segunda parte, precisamos da propriedade

$||k\vec{u}||=|k|||\vec{u}||~~\mathsf{para~qualquer~constante~k~real}$

Então,

$\overrightarrow{NM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}~~\Longrightarrow\\\\||\overrightarrow{NM}=||\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}||\\\\||\overrightarrow{NM}||=|\frac{1}{2}|\cdot||\overrightarrow{CB}||\\\\||\overrightarrow{NM}||=\frac{1}{2}||\overrightarrow{CB}||$

Como a norma euclidiana de um vetor representa seu comprimento, temos que o vetor formado por N e M tem metade do tamanho do vetor formado por C e B, logo o segmento MN tem metade do comprimento do segmento BC, que é o lado oposto aos lados AB e AC

Isso prova as duas proposições.