Question

Mostre que se z = r( cosθ + i senθ) então z = r( cos(−θ) + i sen(−θ)).

Answer 1

Utilizando conceitos de funções trigonometricas, funções pares, funções impares e complexos conjugado podemos simplesmente provar que este valor é o complexo conjugado de z.

Explicação passo-a-passo:

Você provalemente quis dizer:

Se $z = r (cos\theta + i sen\theta)$, então $z^* = r (cos(-\theta) + i sen(-\theta))$.

Pois caso contrário a questão estaria errada.

Com isso vamos analisar a segunda parte:

$z^* = r (cos(-\theta) + i sen(-\theta))$

Podemos substituir os valores de dentro dos angulos das funções trigonometricas pelos seus opostos, pois cosseno é uma função par e seno é uma função impar. Isto significa que:

Função Par: Quando um função f(x) é igual ao seu valor da variavel oposta, ou seja, f(x) = f(-x). Cosseno é uma função par.

Função Ímpar: Quando um função f(x) é igual ao oposto de seu valor da variavel oposta, ou seja, -f(x) = f(-x). Seno é uma função par.

Assim substituindo estas caracteristicas, ficamos com:

$z^* = r (cos(-\theta) + i sen(-\theta))$

$z^* = r (cos(\theta) - i sen(\theta))$

Agora note que esta função z* é exatamente igual a z, com excessão de que a parte imaginaria tem sinal trocado, e esta é exatamente a definição de conjugado complexo de um valor, ou seja, de fato esta função é o conjugado de z.