Question

Mostre que se n | m, em que n e m são inteiros positivos maiores que 1, e se a ≡ b (mod m), em que a e b são números inteiros, então a ≡ b (mod n).
Como ficaria a solução?

Answer 1

Para fazer essa demonstração, vamos relembrar inicialmente os conceitos de divisibilidade e congruência de números inteiros.

Definição (Divisibilidade). Sejam $a$ e $b$ dois números inteiros. Diz-se que $a$ divide $b$ e escreve-se $a\mid b,$ se existe um inteiro $c$ tal que $b=a\cdot c.$

Definição (Congruência módulo n). Seja $n$ um número inteiro positivo. Os inteiros $a$ e $b$ são congruentes módulo $n$ se eles possuem mesmo resto quando divididos por $n.$

Quando $a$ é congruente a $b$ módulo $n,$ escreve-se $a\equiv b\pmod n.$

A seguinte proposição é válida e será usada nesta questão.

Proposição. Sejam $a, b$ e $n>0$ números inteiros. Então, $a\equiv b\pmod n$ se, e somente, se $n\mid (a-b).$

Simbolicamente, tem-se:

$\boxed{a\equiv b\pmod n\iff n\mid a-b.}$

Dito isso vamos à demonstração pedida.

Demonstração. Por hipótese, $n\mid m$ e $a\equiv b\pmod m.$ Desse modo, existe$k_1\in\mathbb{Z}$ tal que $m=n\cdot k_1.$ Além disso, $m\mid a-b$ pela proposição apresentada. Daí, por definição, existe $k_2\in\mathbb{Z}$ tal que $a-b\mid m\cdot k_2.$ Substituindo $m$ por $n\cdot k_1$ na última relação obtida, segue que $a-b\mid(n\cdot k_1)\cdot k_2.$ Pela propriedade associativa dos números inteiros, pode-se escrever $a-b\mid n\cdot(k_1\cdot k_2).$ Como $k_1$ e $k_2$ são números inteiros, o produto entre eles também o é. Chamando $k_1\cdot k_2=k_3,$ segue que $a-b\mid n\cdot k_3.$ Consequentemente, $n\mid a-b.$ Portanto, $a\equiv b\pmod n.\quad\square$

Espero ter ajudado!

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