Question

Mostre que, se n^2+2 é primo, com n>=1, então 3|n

E Teoremas usados para demonstrar a questão?

Answer 1

Bom dia!
Vamos supor que n > 1, pois com n = 1 nao da certo.
Usaremos a notação:
a ≡ b (mod n) se a deixa resto b na divisão por n ou que a - b deixa resto 0 na divisão por n.
Vamos supor por absurdo que 3 nao divide n, assim teremos 2 casos:
1° Caso: n ≡ 1 (mod 3), ou seja que n deixa resto 1 na divisão por 3
Assim:
n² + 2 ≡ 1² + 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3), pois n ≡ 1 (mod 3)
Assim  3 | n² + 2 e n² + 2 é primo ⇔ n² + 2 = 3 ⇔ n = 1, mas n > 1
ABSURDO!!! 
Assim a afirmação que n ≡ 1 (mod 3) está errada.

2° Caso n ≡ 2 (mod 3), ou seja n deixa resto 2 na divisão por 3
Assim:
n² + 2 ≡ 2² + 2 ≡ 6 ≡ 0,  pois n ≡ 2 (mod 3)
Assim: 
3 | n² + 2 e n² + 2 é primo, logo: n² + 2 = 3 ⇔ n = 1, mas n ≡ 2
ABSURDO!!!
Assim a afirmação que fizemos no começo que n ≡ 2 (mod 3)
Logo n ≡ 1 (mod 3) ou n ≡ 2 (mod 3) está errado, logo n ≡ 0 (mod 3), e assim:
3 | n 

Nota: Se a ≡ 0 (mod n) ⇔ n | a

Answer 2

Vamos supor que $3\nmid n$.

Desse modo, temos duas possibilidades:

$\bullet~~n\equiv1\pmod{3}$

Se $n$ deixa resto $1$ na divisão por $3$, podemos escrever $n=3a+1$, com $a\in\mathbb{N}$.

Com isso, teríamos $n^2+2=(3a+1)^2+2=9a^2+6a+3=3\cdot(3a^2+2a+1)$, isto é, $3~|~n^2+2$. Que é um absurdo, pois $n^2+2$ é um número primo.

$\bullet~~n\equiv2\pmod{3}$

Analogamente, se $n$ deixa resto $2$ na divisão por $3$, então $n=3b+2$, com $b\in\mathbb{N}$

Assim, $n^2+2=(3b+2)^2+2=9b^2+12b+6=3\cdot(3b^2+4b+2)$, isto é, $3~|~n^2+2$, absurdo, como antes. 

Logo, $n\equiv0\pmod{3}$, ou seja, $3~|~n$.