Question

Mostre que, se n^2+2 é primo, com n>=1, então 3|n

Answer 1

bom todo n natural ou é da forma 3k, 3k-1 ou 3k+1, fazendo caso por caso temos: para n=3k+1, temos n^2+2=(3k+1)^2+2=9k^2+6k+3=3(3k^2+2k+1) ou seja composto, não queremos, para n=3k-1, n^2+2=(3k-1)^2+2=9k^2-6k+3=3(3k^2-2k+1) composto também, não serve, então obviamente para n=3k. assim teriamos que como pra qualquer n^2+2 primo, n tem q ser exclusivamente multiplo de 3. já que um natural ou é multiplo de 3, ou é um sucessor ou antcessor(3k+1 e 3k-1 respectivamente) e como provamos que pra n=3k+1 e n=3k-1, n^2+2 é composto, só nos resta n=3k<=> 3|n. CQD.

Answer 2

Bom dia!
Vamos supor que n > 1, pois com n = 1 nao da certo.
Usaremos a notação:
a ≡ b (mod n) se a deixa resto b na divisão por n ou que a - b deixa resto 0 na divisão por n.
Vamos supor por absurdo que 3 nao divide n, assim teremos 2 casos:
1° Caso: n ≡ 1 (mod 3), ou seja que n deixa resto 1 na divisão por 3
Assim:
n² + 2 ≡ 1² + 2 ≡ 3 ≡ 0 (mod 3), pois n ≡ 1 (mod 3)
Assim  3 | n² + 2 e n² + 2 é primo ⇔ n² + 2 = 3 ⇔ n = 1, mas n > 1
ABSURDO!!! 
Assim a afirmação que n ≡ 1 (mod 3) está errada.

2° Caso n ≡ 2 (mod 3), ou seja n deixa resto 2 na divisão por 3
Assim:
n² + 2 ≡ 2² + 2 ≡ 6 ≡ 0,  pois n ≡ 2 (mod 3)
Assim: 
3 | n² + 2 e n² + 2 é primo, logo: n² + 2 = 3 ⇔ n = 1, mas n ≡ 2
ABSURDO!!!
Assim a afirmação que fizemos no começo que n ≡ 2 (mod 3)
Logo n ≡ 1 (mod 3) ou n ≡ 2 (mod 3) está errado, logo n ≡ 0 (mod 3), e assim:
3 | n 

Nota: Se a ≡ 0 (mod n) ⇔ n | a