Question

Mostre que se f e g sao funcoes contınuas definidas no intervalo [a, b], satisfazendo f(x) > g(x), ∀x ∈ [a, b], entao
$\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$ $\geq$ $\int\limits^b_a {g(x)} \, dx$

Answer 1

Seja
$f(x)\ \textgreater \ g(x)$ para todo x pertencente ao intervalo [a,b].
Pelas propriedades comparativas da integral podemos assumir uma certa função $\displaystyle h(x)$ que é limitada superiormente pelo escalar M e inferiormente pelo escalar m:

$m\leq h(x)\leq M$
para um certo intervalo [a,b]
integramos todos os lados dessa desigualdade e obtemos

$\displaystyle i)~~~~m\leq h(x)\leq M\\\\ii)~~~\int\limits_{a}^{b}mdx\leq \int \limits_{a}^{b}h(x)dx\leq \int\limits_{a}^{b}Mdx\\\\iii)~~m(b-a)\leq \int\limits_{a}^{b}h(x)dx\leq M(b-a)$

demonstramos uma das propriedades comparativas da integral que pode ser estendida para casos mais gerais como o da sua questão:
Aqui temos duas funções, uma sempre menor ou igual à outra, no lugar do limitante ser um escalar será uma função contínua no intervalo [a,b] que obedece:
$\displaystyle f(x)\geq g(x)$
se calcularmos a área da função f(x) obtemos um valor absoluto maior que o de g(x) para todo x dentro do intervalo, ou seja:
$\displaystyle i)~~~~~f(x)\geq g(x)\\\\ii)~~~~\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\geq \int\limits_{a}^{b}g(x)dx$
Verificar imagem do anexo, a área (integral) da função que é maior no intervalo sempre é maior do que a área da função que é menor no mesmo intervalo.

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