Question

Mostre que se A⊂R é aberto e a∈A, então A-{a} é aberto
Mostre que o conjunto dos números naturais N é um conjunto fechado em R. Por que não é compacto?
Mostre que a união e a interseção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Answer 1

Pela definição deconjunto aberto, A-{a} é aberto em a se (a-$\epsilon$,a+$\epsilon$) $\subset$ A-{a}.

Por se tratar de um intervalo, podemos tomar $\epsilon$ quão pequeno nós quisermos e ainda encontraremos pontos diferentes de a.

Os naturais são fechados porque

N$\cap$(n-$\epsilon$,n+$\epsilon$)$\neq\emptyset$.

Basta tomar uma vizinhança em torno de qualquer número do conjunto e teremos pelo menos este número dentro da interseção.

Entretanto não é compacto porque não é limitado.

por definição: Um subconjunto K$\subset$$\matbb{R}$ é compacto se ele for fechado e também limitado.

Interseção:

A interseção de 2 conjuntos abertos é também um aberto.

Caso 1 -- trivial: Conjuntos disjuntos terão {$\emptyset$} como interseção e {$\emptyset$} é aberto.

Caso 2: para todo x$\in$ A$\cap$B, encontramos

(x-$\epsilon$, x+$\epsilon$)$\subset$ A$\cap$B e por isso é aberto.

União

A união de 2 conjuntos abertos também será aberto.

para todo x$\in$ A$\cup$B, encontramos

(x-$\epsilon$, x+$\epsilon$)$\subset$ A

ou (x-$\epsilon$, x+$\epsilon$)$\subset$ B

Ou seja, encontramos (x-$\epsilon$, x+$\epsilon$)$\subset$ A$cup$B.

portanto é aberto