Question

Mostre que se 'a' divide 'b' e 'b' divide 'a', em que 'a' e 'b' são inteiros não nulos, então 'a' = 'b' ou a = -b.

Como demostrar?

Answer 1

Antes de fazer a demonstração pedida, vamos relembrar a definição de divisibilidade de números inteiros.

Definição (Divisibilidade). Sejam $a$ e $b$ dois números inteiros. Diz-se que $a$ divide $b$ e escreve-se $a\mid b,$ se existe um inteiro $c$ tal que $b=a\cdot c.$ Caso contrário, escreve-se $a\nmid b.$

Desse modo, o que queremos provar é a seguinte proposição.

Proposição. Sejam $a$ e $b$ dois números inteiros não nulos. Se $a\mid b$ e $b\mid a,$ então $a=b$ ou $a=-b.$

Demonstração.  Por hipótese, $a\mid b$ e $b\mid a.$ Dessa maneira, por definição, segue que existem $k_1, k_2\in\mathbb{Z}$ tais que $b=a\cdot k_1$ e $a=b\cdot k_2.$ Daí, pode-se escrever $a=(a\cdot k_1)\cdot k_2.$ Pela associatividade de números inteiros, decorre que $a=a\cdot(k_1\cdot k_2).$ Já que $a\neq 0,$ pode-se dividir a última igualdade por $a$ e, assim, obtém-se $1=k_1k_2,$ ou seja, $k_1k_2=1.$ Como $k_1$ e $k_2$ são números inteiros, só há duas possibilidades, a saber:

1. $k_1=k_2=1$;
2. $k_1=k_2=-1.$

Se ocorrer a primeira possibilidade, temos $a=b.$ Se ocorrer a segunda, temos $a=-b.\quad\blacksquare$

Espero ter ajudado!

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