Question

Mostre que

Se − 1 ≤ x ≤ 1, então − 1/2 ≤ x√(1 − x²) ≤ 1/2.

Answer 1

Bom dia, Lukyo.


Vou utilizar o método do intervalo fechado para provar isso. A função $y=x\sqrt{1-x^2}$ é contínua e derivável em [-1, 1]. 

Pelo método, vamos começar derivando y:

$y' = x'\sqrt{1-x^2}+ x(\sqrt{1-x^2})'\\ \\ y' = \sqrt{1-x^2}+\dfrac{x\cdot(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}\\ \\ y' = \sqrt{1-x^2} - \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\\ \\ \\ \boxed{y'=\dfrac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}}$

Os números críticos de y ocorrerão quando y' = 0 ou quando y' não existe.

A análise dos valores que fazer y' não existir é imediata e são -1 e 1.

Os valores que zeram y' são os que fazem o numerador ser zero:

$1-2x^2 =0\\ \\ x^2 = \frac{1}{2}\\ \\ \boxed{x = \pm\dfrac{1}{\sqrt2}}$


Agora observamos os valores de y em -1 e 1(extremos do intervalo, mas também números críticos) e em $\pm\frac{1}{\sqrt2}$


$y = f(x)\\ \\ f(-1) = -1\cdot\sqrt{1-(-1)^2} = 0\\ \\ \\ f(1) = 1\cdot\sqrt{1-1^2}=0\\ \\ \\ f(\frac{1}{\sqrt2}) = \frac{1}{\sqrt2}\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1}{2}\\ \\ \\ f(-\frac{1}{\sqrt2})= -\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{1-\frac{1}{2}} = -\dfrac{1}{2}$


Logo, o mínimo absoluto vale -1/2 e o máximo absoluto vale 1/2. Portanto concluímos que y é limitada de -1 a 1, então:

$\boxed{-1\leq x\leq-1 \ \ \Rightarrow \ \ -\frac{1}{2}\leq x\sqrt{1-x^2}\leq \frac{1}{2}}$

Answer 2

Olá Lukyo.



Mostre que

Se − 1 ≤ x ≤ 1, então − 1/2 ≤ x√(1 − x²) ≤ 1/2.

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Produto notável usado


$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2}}}$

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Sabendo que o quadrado de um número real é sempre maior ou igual a 0, temos

$\mathsf{a^2\geq 0}$

Ou em particular

$\mathsf{(a-b)^2\geq 0}$

Some $\mathsf{4ab}$ em ambos os lados

$\mathsf{(a-b)^2+4ab\geq 4ab}\\\\\mathsf{a^2-2ab+b^2+4ab\geq4ab}\\\\\mathsf{a^2+2ab+b^2\geq4ab}\\\\\mathsf{(a+b)^2\geq4ab}$

Tomando $\mathsf{a=x^2}$ e $\mathsf{b=1-x^2}$, temos

$\mathsf{(x^2+1-x^2)^2\geq 4\cdot x^2\cdot(1-x^2)}\\\\\mathsf{1^2\geq4x^2\cdot(1-x^2)}$

Divida ambos os lados por 4

$\mathsf{1\cdot\dfrac{1}{4}\geq \diagup\!\!\!\!4x^2\cdot(1-x^2)\cdot\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!4}}\\\\\mathsf{\dfrac{1}{4}\geq x^2(1-x^2)}$

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Relembrando algumas propriedades de módulo

$\mathsf{\sqrt{x^2}=|x|}$

Se a é um número real maior que 0, temos:

$\mathsf{|x|\ \leq \ a\Rightarrow -a\ \leq \ x\ \leq \ a}\\\\\\\mathsf{|x|\ \geq \ a\Rightarrow x\ \leq \ -a~~ou~~x\ \geq \ a}$

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Continuando de onde paramos

$\mathsf{\dfrac{1}{4}\geq x^2(1-x^2)}$

Pelo fato do intervalo de x ser [-1, 1], o fator (1 - x²) e x², nunca será negativo, pois um dos fatores se anula

Exemplo

Se x = 0

$\mathsf{0^2\sqrt{1-0^2}=0}$

Se x = 1

.$\mathsf{1^2\sqrt{1-1^2}=0}$

Para x = -1

$(-1)^2\sqrt{1-(-1)^2}=0$


Tirando a raiz quadrada em ambos os lados da desigualdade a desigualdade é mantida

$\mathsf{\sqrt{\dfrac{1}{4}}\geq \sqrt{x^2(1-x^2)}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2}\geq|x|\sqrt{(1-x^2)}}$

Como vimos antes, o fator $\mathsf{\sqrt{1-x^2}}$ é sempre maior ou igual a 0, mas não sempre positivo, portanto, podemos associar em módulo

$\mathsf{\dfrac{1}{2}\geq|x|\sqrt{1-x^2}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2}\geq |x\sqrt{1-x^2}|}\\\\\\\mathsf{\dfrac{1}{2}\geq x\sqrt{1-x^2}\geq-\dfrac{1}{2}}$

Concluindo o que queríamos mostrar


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