Question

Mostre que são lineares as transformações abaixo:
a) T: R3 ⟶ R2 definida por T(x, y, z) = (2x, 3y − z)
b) T: R2 ⟶ R3 definida por T(x, y) = (x + y, x, y)

Answer 1

Resposta:

Exemplo 3.17 Mostre que existe uma função T : R → R satisfazendo à condição aditiva

T(x + y) = T(x) + T(y), ∀ x, y ∈ R,

mas não é uma transformação linear, isto é, T(x) 6= ax, para algum x ∈ R.

Solução. É fácil verificar que R com as operações usuais é um espaço vetorial sobre Q.

Assim, pela Observação 2.38, podemos escolher uma base “de Hamel” β = {xi}i∈I de R

sobre Q. Assim, para cada x ∈ R, existem únicos rk1 ,...,rkn ∈ Q, onde k1,...,kn ∈ I,

tais que

x = rk1 xk1 + ··· + rkn xkn = Xn

j=1

rkjxkj .

A função T : R → R definida por

T(x) = Xn

j=1

rkjT(xkj ), ∀ x ∈ R,

possui as propriedades desejadas, pois se fizermos

T(xk1 )=1 e T(xk2 )=0,

então

T(x + y) = T(x) + T(y), ∀ x, y ∈ R, mas T(x) 6= ax, para algum a ∈ R.

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Para uma transformação $T:U\rightarrow V$ ser linear, as propriedades $T(a+b)=T(a)+T(b),\;a,b\in U$ e $T(k\cdot a)=k\cdot T(a),\;k\in\mathbb{R}$ devem ser aplicáveis.

a)

Inicialmente, vamos testar a propriedade da soma. Considerando os vetores $a=(x_1,y_1,z_1)$ e $b=(x_2,y_2,z_2)$ do $\mathbb{R}^3$, temos que:

$T(a+b)=T[(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)]$

$T(a+b)=T(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$

$T(a+b)=(2(x_1+x_2),3(y_1+y_2)-(z_1+z_2))$

$T(a+b)=(2x_1+2x_2,3y_1+3y_2-z_1-z_2)$

$T(a+b)=(2x_1+2x_2,3y_1-z_1+3y_2-z_2)$

$T(a+b)=(2x_1,3y_1-z_1)+(2x_2,3y_2-z_2)$

$T(a+b)=T(a)+T(b)$

Provando assim que essa propriedade é aplicável. No caso da 2º propriedade, temos que:

$T(k\cdot a)=T[k\cdot(x_1,y_1,z_1)]$

$T(k\cdot a)=T(kx_1,ky_1,kz_1)$

$T(k\cdot a)=(2kx_1,3ky_1-kz_1)$

$T(k\cdot a)=k(2x_1,3y_1-z_1)$

Como as duas propriedades são aplicáveis, $T$ é uma transformação linear.

b)

Inicialmente, vamos testar a propriedade da soma. Considerando os vetores $a=(x_1,y_1)$ e $b=(x_2,y_2)$ do $\mathbb{R}^2$, temos que:

$T(a+b)=T[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)]$

$T(a+b)=T(x_1+x_2,y_1+y_2)$

$T(a+b)=((x_1+x_2)+(y_1+y_2),x_1+x_2,y_1+y_2)$

$T(a+b)=(x_1+y_1+x_2+y_2,x_1+x_2,y_1+y_2)$

$T(a+b)=(x_1+y_1,x_1,y_1)+(x_2+y_2,x_2,y_2)$

$T(a+b)=T(a)+T(b)$

Provando assim que essa propriedade é aplicável. No caso da 2º propriedade, temos que:

$T(k\cdot a)=T[k\cdot(x_1,y_1)]$

$T(k\cdot a)=T(kx_1,ky_1)$

$T(k\cdot a)=(kx_1+ky_1,kx_1,ky_1)$

$T(k\cdot a)=k(x_1+y_1,x_1,y_1)$

Como as duas propriedades são aplicáveis, $T$ é uma transformação linear.