Question

Mostre que, qualquer que seja o valor de T, o ponto
(a cos t, b sen t)
pertence a elipse $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}=1$

Answer 1

Dada a elipse:

$\frac { { x }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1$

Inserindo os valores do ponto $(a \cdot cos t, b \cdot sen t)$ na elipse:

$\frac { { [a\cdot cos{ (t) }] }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +\frac { { [b\cdot sen{ (t)] } }^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1$

$\frac { a^{ 2 }{ [cos{ (t) }] }^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +\frac { { b^{ 2 }[sen{ (t)] } }^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1$

Encontramos:

${ [cos{ (t) }] }^{ 2 }+{ [sen{ (t)] } }^{ 2 }=1$

Que é o mesmo que a identidade trigonométrica:

$sen^{ 2 }(t)+{ cos }^{ 2 }(t)=1$

Como chegamos em uma identidade verdadeira, a proposição é verdadeira.