Question

Mostre que, para todo x com cos x/2 ≠ 0 , tem-se:
a) sen x = 2tg x/2 / 1 + tg² x/2

Alguem poderia por favor me ajudar no desenvolvimento dessa questão? grata!

Answer 1

$sen x = \frac{2tg \frac{x}{2} }{1 + tg^2 \frac{x}{2} }$

Para simplificar os cálculos, admita x/2 = y

Observa-se que sen2y está sendo igualado a tg(y+y) ou tg2y, dessa forma:

$tg2y = sen 2y \\ \\ tg2y = \frac{2tg y }{1+tg^2 y } \\ \\ tg2y = \frac{2 \frac{seny}{cosy} }{1 + \frac{sen^2}{cos^2y} } \\ \\ tg2y = \frac{\frac{2seny}{cosy} }{ \frac{cos^2y + sen^2y}{cos^2y} } \\ \\ tg2y = \frac{2seny}{cosy} \cdot \frac{cos^2y }{cos^2y+ sen^2y} \\ \\ \boxed{\boxed{tg2y = 2seny \cdot cosy}} \\ \\ 2seny\cdot cosy = sen2y \\ \\ tg2y = sen2y \\ \\ \boxed{\boxed{\boxed{sen2y = sen2y}}}}$

É trivial demonstrar que sen2y = 2seny.cosy, pois trata-se de uma identidade trigonométrica, portanto, termina-se o exercício ai.