Question

Mostre que para todo p primo, p ≥ 7

     p⁴ ≡ 1 (mod 15).

Gentileza explicar claramente o passo a passo para a resolução desta tarefa. Obrigado.​

Answer 1

Resposta:

Pequeno teorema de Fermat  ..p é primo e  a é um número inteiro

a^p ≡a (mod p)

a^p- a ≡ (mod p) ...significa que a^p - a é divisível por p

a³ ≡ a (mod 3) ==>para a não divisível por p  ==> a²-1  é divisível por 3

a⁵ ≡ a (mod 5) ==> para a não divisível por p  ==> a⁴-1  é divisível por 5

Não queremos para 'a' números  múltiplos de 3 e 5, queremos para 'a'

primos maiores do que > 5  , ou seja, a>=7 , primos, para ter certeza

que não estamos usando um múltiplo de 3 ou 5.

#  p⁴ ≡ 1 (mod 15) ==>22⁴ ≡ 1 (mod 15) serviria por exemplo

## observe a⁴-1=(a²-1)*(a²+1) ==>é divisível por 3 e 5 ==> 15

podemos afirmar que a⁴≡ 1(mod 15) para a ≥ 7 é verdadeiro

a⁴≡ 1(mod 15) para a ≥ 7   ==> p⁴≡ 1(mod 15) para p ≥ 7