Question

Mostre que para todo p primo, p ≥ 5

     p² ≡ 1 (mod 24).

Gentileza explicar claramente o passo a passo para a resolução desta tarefa. Obrigado.​

Answer 1

Oláa (✿◠‿◠)

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Bem, a prova mais fácil que posso usar, sem envolver diretamente teoria dos números, é pensar que como está envolvendo congruência (módulo no caso), então nada mais é do que uma divisão, ou seja, quando temos

$p^2 \equiv 1 (\mod 24)$ nada mais é que $24 | p^2-1$ (24 dividindo p²-1).

Então, o que acontece, dos três números consecutivos p−1, p, p+1, um deles deve ser divisível por 3; Além disso, como os vizinhos de p são números pares consecutivos, um deles deve ser divisível por 2 e o outro por 4, então seu produto é divisível por 3⋅2⋅4=24 - e, claro, podemos descartar p desde é primo, e esses fatores não podem vir dele.

Espero ter ajudado, e é issoo

Answer 2

Pequeno teorema de Fermat  ..p é primo e  a é um número inteiro

a^p ≡a (mod p)

a^p- a ≡ (mod p) ...significa que a^p - a é divisível por p

a² ≡ a (mod 2) ==>para a não divisível por p  ==> a-1  é divisível por 2

a³ ≡ a (mod 3) ==> para a não divisível por p  ==> a²-1  é divisível por 3

Não queremos para 'a' números  múltiplos de 2 e 3, queremos para 'a'

primos maiores do que > 3  , ou seja, a>=5 , ficamos com p²>24 , evitando  assim encontrar múltiplos de 2 ou 3

## observe a²-1=(a-1)*(a²-1) ==>é divisível por 2 e 3 ==> 6

podemos afirmar que a²≡ 1(mod 24) para a ≥ 5 é verdadeiro

a²≡ 1(mod 24) para a ≥ 7   ==> p² ≡ 1 (mod 24) para p ≥ 5