Question

Mostre que para todo p primo, p ≥ 3

     p² ≡ 1 (mod 8).

Gentileza explicar claramente o passo a passo para a resolução desta tarefa. Obrigado.​

Answer 1

Resposta:

Pequeno teorema de Fermat  ..p é primo e  a é um número inteiro

a^p ≡a (mod p)

a^p- a ≡ (mod p) ...significa que a^p - a é divisível por p

p² ≡ p (mod 2) ==> p-1  é divisível por 2 , para p > 2

==> p-1 é divisível por 2

==> 4*(p-1) é divisível por 8   (i)

p² ≡ 1 (mod 8)

p²-1 se p ≥ 3 primo e consequentemente ímpar

fazendo p=2n+1

(2n+1)²-1 =4n²+4n+1-1= 4n*(n+1) que é n * 4*(n+1)

n * 4*(n+1) é proporcional  a (i)