Question

Mostre que para todo numero real positivo x temos que x + 1 /x ≥ 2.

Answer 1

Para mostrar essa afirmação simplificamos a inequação dada para a desigualdade $x^2 - 2x + 1 \geq 0$ e analisamos sua veracidade.

Simplificando a expressão

Podemos somar as frações do lado esquerdo da desigualdade, dessa forma, temos:

$\dfrac{x^2 + 1}{x} \geq 2$

Supondo x positivo e multiplicando os dois lados da inadequação por x, podemos escrever:

$x^2 + 1 \geq 2x$

Somando a expressão -2x em ambos os lados da desigualdade:

$x^2 - 2x + 1 \geq 0$

Para encontrar as raízes da equação de segundo grau associada, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:

$\Delta = 4 - 4 = 0$

Esse resultado indica que a equação quadrática associada possui apenas uma raiz real. Como o coeficiente da variável ao quadrado é positivo, temos que, a concavidade da parábola é voltada para cima, portanto, a expressão possui valor positivo para qualquer valor de x. Dessa forma, temos que a desigualdade $x + \dfrac{1}{x} \geq$ é valida para todo x real positivo.

Para mais informações sobre inequações, acesse:https://brainly.com.br/tarefa/49356742

#SPJ1