Question

Mostre que para todo número real a>0 existe um número c∈R tal que a reta tangente ao gráfico da função f(x)=sen(1/x) no ponto c tem a mesma inclinação da reta y=ax.

Answer 1

Mostrar que, para todo real $a>0,$ existe um $c \in \mathbb{R},$ tal que a a reta $r$ tangente ao gráfico de $f(x)=\mathrm{sen\,}(\frac{1}{x})$ no ponto $c$ tem o mesmo coeficiente angular que a reta $y=ax.$

$\bullet\;\;$ O domínio de $f$ é $\mathbb{R}-\{0\}.$ Logo, $c \neq 0.$


$\bullet\;\;$ A derivada de $f$ é

$f'(x)=-\cos(\frac{1}{x})\cdot \frac{1}{x^{2}}$


Em um ponto $c$ a derivada vale

$f'(c)=-\cos(\frac{1}{c})\cdot \frac{1}{c^{2}}$


$\bullet\;\;$ A inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $c$ é igual a $f'(c);$

A inclinação da reta $y=ax$ é $a,$ com $a>0.$


$\bullet\;\;$ Basta mostrar então que para todo $a>0,$ existe um $c$ real, tal que $c$ resolve esta equação:

$f'(c)=a\\ \\ -\cos (\frac{1}{c})\cdot \frac{1}{c^{2}}=a\\ \\ -\cos (\frac{1}{c})=ac^{2}\\ \\ \cos (\frac{1}{c})=-ac^{2}$


Para que tal $c$ exista, basta observarmos que sempre devemos ter

$-1\leq \cos (\frac{1}{c})\leq 1\\ \\ -1\leq -ac^{2} \leq 1$


Como $a>0$ e $c\neq 0,$ a desigualdade acima se reduz a

$-1\leq -ac^{2}<0\\ \\ 0<ac^{2}\leq 1\\ \\ 0<c^{2}\leq \frac{1}{a}\\ \\ -\frac{1}{\sqrt{a}}\leq c<0\,\,\text{ ou }\,\,0<c\leq\frac{1}{\sqrt{a}}$


Se tomarmos um $c$ em um dos intervalos acima, garantimos que a equação

$f'(c)=a$

sempre terá solução, qualquer que seja o número positivo $a.$