Question

Mostre que para todo natural n > 1, o número n3 + 2n + 3 é um múltiplo de 3.

Answer 1

Olá.

 

Para resolver essa questão, usarei PIF (Princípio de Indução Finita).

 

Temos a hipótese:

n³ + 2n + 3 ≡ 3

(n ao cubo mais dois n mais três é divisível por 3)

 

O primeiro passo é testar essa hipóteses nas condições dadas. Sendo o universo composto pelos inteiros maiores que 1, vou testar para 2, 3, 4, 5 e 321. Quando for válido, terá um “$\checkmark$ “ no resultado. Vamos aos cálculos.

 

Para n = 2

(2)³ + 2(2) + 3 ≡ 3

8 + 4 + 3 ≡ 3

15 ≡ 3 $\checkmark$

 

Para n = 4

(3)³ + 2(3) + 3  ≡ 3

27 + 6 + 3  ≡ 3

36  ≡ 3 $\checkmark$

 

Para n = 4

(4)³ + 2(4) + 3  ≡ 3

64 + 8 + 3  ≡ 3

75 ≡ 3 $\checkmark$

 

Para n = 5

(5)³ + 2(5) + 3  ≡ 3

125 + 10 + 3  ≡ 3

138  ≡ 3 $\checkmark$

 

Para n = 321

(321)³ + 2(321) + 3  ≡ 3

3.3076.161 + 642 + 3  ≡ 3

33.076.806 ≡ 3 $\checkmark$

 

33.076.806 / 3 = 11.025.602

 

Agora, podemos testar se realmente todos são múltiplos de 3 com o PIF.

 

A nossa hipótese será:

$\mathsf{P_{(n)}=n^3+2n+3=3m}$

“Para todo n aplicado na fórmula, o resultado sempre vai ser um produto de 3 com outro número m”.

 

Assumindo como verdade, temos n = k.

$\mathsf{P_{(k)}=k^3+2k+3=3m}$

 

Para saber se é valido para todo k, vamos testar com k + 1.

$\mathsf{P_{(k+1)}=(k+1)^3+2(k+1)+3=3m}$

 

Aplicaremos uma propriedade de produtos notáveis em (k + 1)³: cubo da soma de dois termos:

$\diamondsuit~\boxed{\boxed{\mathsf{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2}}}$

 

Continuemos o cálculo:

$\mathsf{P_{(k+1)}=(k+1)^3+2(k+1)+3=3m}\\\\\mathsf{P_{(k+1)}=(k^3+3\times k^2\times1+3\times k\times1^2+1^3)+(2\times k+2\times1)+3=3m}\\\\\mathsf{P_{(k+1)}=(k^3+3k^2+3k+1)+(2k+2)+3=3m}$

 

Fazendo uma organização dos termos, teremos:

$\mathsf{P_{(k+1)}=(k^3+3k^2+3k+1)+(2k+2)+3=3m}\\\\\mathsf{P_{(k+1)}=k^3+3k^2+3k+1+2k+2+3=3m}\\\\\mathsf{P_{(k+1)}=(k^3+2k+3)+3k^2+3k+1+2=3m}\\\\\mathsf{P_{(k+1)}=\boxed{\mathsf{(k^3+2k+3)}}+3k^2+3k+3=3m}$

 

É possível notar que a parte dentro do box é igual ao valor de P(k), sendo assim, podemos substituir toda essa parte por 3m.

$\mathsf{P_{(k+1)}=\boxed{\mathsf{(k^3+2k+3)}}+3k^2+3k+3=3m}\\\\\mathsf{P_{(k+1)}=3m+3k^2+3k+3=3m}$

 

Apenas dessa maneira, é possível notar que, em todos os membros, todos os números são múltiplos de 3, logo, são passíveis de serem divididos por 3.

Para comprovar:

$\mathsf{P_{(k+1)}=3m+3k^2+3k+3=3\equiv3}\\\\\mathsf{P_{(k+1)}=\dfrac{3m+3k^2+3k+3=3}{3}\equiv3}\\\\\mathsf{P_{(k+1)}=m+k^2+k+1=1}~\checkmark$

 

Com isso, foi provado que:

{n ∈ Z | n > 1 | n³ + 2n + 3 = 3m}

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$