Question

Mostre que, para todo a ∈ (− 1, 1),

$\lim\limits_{x\to a}$ (arcsen x − arcsen a)/(x − a) = 1/√(1 − a²)

Favor não usar as regras de L'Hospital, nem conceito pronto de derivada.

Answer 1

Seja L o limite que queremos calcular:

$L=\lim_{x\to a}\dfrac{\arcsin x-\arcsin a}{x-a}$

Vamos fazer uma troca de variáveis. Seja $y=\arcsin x\Longrightarrow x=\sin y$. Como $a\in(-1,1)$, podemos reescrever essa constante de maneira conveniente, como uma função seno. Seja $a=\sin b\Longrightarrow b=\arcsin a$. Note que, quando $x\to a$, temos $y\to b$. Substituindo no limite:

$L=\lim_{y\to b}\dfrac{y-b}{\sin y-\sin b}$

Podemos reescrever o denominador usando a seguinte identidade trigonométrica:

$\sin p-\sin q=2\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p+q}{2}\right)$

Assim:

$L=\lim_{y\to b}\dfrac{y-b}{\sin y-\sin b}\\\\ L=\lim_{y\to b}\dfrac{y-b}{2\sin\left(\dfrac{y-b}{2}\right)\cos\left(\dfrac{y+b}{2}\right)}\\\\ L=\lim_{y\to b}\dfrac{\dfrac{y-b}{2}}{\sin\left(\dfrac{y-b}{2}\right)}\cdot\dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{y+b}{2}\right)}$

Para visualizarmos melhor a expressão, vamos fazer uma nova troca de variáveis. Seja $t=\dfrac{y-b}{2}\Longrightarrow \dfrac{y+b}{2}=t+b$. Assim, quando $y\to b$, temos $t\to 0$:

$L=\lim_{y\to b}\dfrac{\dfrac{y-b}{2}}{\sin\left(\dfrac{y-b}{2}\right)}\cdot\dfrac{1}{\cos\left(\dfrac{y+b}{2}\right)}\\\\ L=\lim_{t\to 0}\dfrac{t}{\sin t}\cdot\dfrac{1}{\cos(t+b)}$

Mas podemos aplicar o seguinte limite fundamental:

$\lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1$

Então, obtemos:

$L=\lim_{t\to 0}\dfrac{t}{\sin t}\cdot\dfrac{1}{\cos(t+b)}\\\\ L=\lim_{t\to 0}\dfrac{t}{\sin t}\cdot\lim_{t\to0}\dfrac{1}{\cos(t+b)}\\\\ L=\lim_{t\to 0}\left(\dfrac{\sin t}{t}\right)^{-1}\cdot\lim_{t\to0}\dfrac{1}{\cos(t+b)}\\\\ L=1\cdot\dfrac{1}{\cos(b)}\\\\ L=\dfrac{1}{\cos(b)}$

Em termos da constante dada $a:$

$L=\dfrac{1}{\cos(\arcsin a)}$

O que pode ser reescrito como:

$L=\dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}\\\\ \boxed{\lim_{x\to a}\dfrac{\arcsin x-\arcsin a}{x-a}=\dfrac{1}{\sqrt{1-a^2}}}$