Question

Mostre que para quaisquer números complexos z e w temos |z + w|² + |z - w|² = 2(|z| + |w|)²

Answer 1

Suponhamos que z e w sejam números complexos tais que z = a +bi e w = c + di. Assim, temos que

z + w = a + bi + c + di

         = (a + c) + (b + d)i

e

z - w = a + bi - (c + di)

        = (a - c) + (b - d)i.

Sendo |x| o módulo de um número complexo x = A + Bi, temos que

|x| = √(A² + B²).

Portanto, se |x| = √(A² + B²), temos que |x|² = A² + B².

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|z|² = a² + b² e |w|² = c² + d²;

|z + w|² = (a + c)² + (b + d)² = a² + 2ac + c² + b² + 2bd + d².

|z - w|² = (a - c)² + (b - d)² = a² - 2ac + c² + b² - 2bd + d².

Sendo S a soma entre |z + w|² e |z - w|², temos que

S = |z + w|² + |z - w|²

   = a² + 2ac + c² + b² + 2bd + d² + a² - 2ac + c² + b² - 2bd + d²

   = 2(a² + b² + c² + d²)

   = 2(|z|² + |w|²).