Question

Mostre que para a, b ∈ Z, e consecutivos, a expressão abaixo será um quadrado perfeito

a² + (ab)² + b²

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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Olá Aks!!

 Sejam "a" e "b" dois inteiros consecutivos quaisquer; onde $\mathbf{b = a + 1}$. 
 
 Substituindo na hipótese:

$\\ \mathsf{a^2 + (ab)^2 + b^2 =} \\\\ \mathsf{a^2 + \left [ a \cdot (a + 1) \right ]^2 + (a + 1)^2 =} \\\\ \mathsf{a^2 + (a^2 + a)^2 + a^2 + \underbrace{\mathsf{2a}}_{a + a} + 1 =} \\\\ \mathsf{(a^2 + a) + (a^2 + a)^2 + (a^2 + a) + 1 =} \\\\ \mathsf{(a^2 + a)^2 + 2 \cdot (a^2 + a) + 1 =} \\\\ \mathsf{\left [ (a^2 + a) \right + 1 ]^2 =} \\\\ \boxed{\mathsf{(a^2 + a + 1)^2}}$

 Que é a tese.

QED