Mostre que os vetores u=(1,2,3), v=(0,1,1) e w=(0,0,1) formam uma base do espaço vetorial R³. Encontre as coordenadas do vetor (1,1,0) ∈ R³ com relação a base formada pelos vetores u, v e w.
Soluções para a tarefa
Saudações!
Para mostrar que os vetores u, v e w formam uma base, basta mostrar que os 3 são linearmente independentes, isto é, que não existam escalares reais diferentes de 0 que satisfaçam a seguinte combinação linear:
αu+βv+Δw=0, onde α,β,Δ∈ R
Dessa forma temos o seguinte:
α(1,2,3)+β(0,1,1)+Δ(0,0,1)=(0,0,0) => (α,2α,3α)+(0,β,β)+(0,0,Δ)=(0,0,0)
Recaímos no seguinte sistema de equações:
α=0, 2α+β=0, 3α+β+Δ=0
Como α=0, isso implica na segunda equação que β também é 0 e na terceira Δ=0. Ou seja, α=β=Δ=0, então u,v,w são vetores L.I. e formam uma base no espaço.
Para encontrar as coordenadas de (1,1,0) com relação a base formada pelos vetores u, v e w, basta escrever (1,1,0) como combinação linear dos vetores u, v e w... Dessa forma, temos o seguinte:
https://pt-static.z-dn.net/files/d9f/a67923c6c352ef09b6771386a8225f0f.jpg
Portanto, as coordenadas de (1,1,0) com relação a base formada por u,v e w são α=1, β=(-1) e Δ=(-2).
Espero ter ajudado, bons estudos!
