Question

Mostre que os valores de λ para os quais o sistema homogêneo

(a − λ)x + by = 0

cx + (d − λ)y = 0

tem uma solução não-nula e satisfazem a equação (a − λ)(d − λ) − bc = 0.​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Podemos provar que é não nulo e determinado calculando seu determinante e provando que ele é igual a zero (SPI), vamos escrever essa equação na forma matricial que é AX = B, neste caso, AX = 0 sendo A a matriz dos coeficientes.

$\begin{bmatrix} (a-\lambda) & b \\ c & (d-\lambda) \\ \end{bmatrix} \cdot\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$

Vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes:$det\begin{bmatrix} (a-\lambda) & b \\ c & (d-\lambda) \\ \end{bmatrix} = (a-\lambda)(d-\lambda)-bc = 0$

Para quais valores de lambda o sistema terá uma solução não nula?

$(a-\lambda)(d-\lambda)-bc = 0\\ad - a\lambda - d\lambda + \lambda ^2 - bc = 0\\\lambda ^2 -\lambda(a+d) - bc - ad = 0\\\\B = (a+d)\\C = (bc+ad)\\\lambda ^2 -B\lambda - C = 0$

Os lambdas que apresentam soluções não nulas satisfazem essa equação.

OBS: O enunciado da questão não ficou claro pra mim, caso tenha interpretado errado, me corrija para que eu possa reescrever a resposta de maneira correta.